9.1. Постановка задачи
В предыдущих главах построено семейство псевдоэллипсоидов Ω_n как тел вращения интервальных состояний I_n(x) и установлены конструктивные свойства итерационной схемы. В настоящей главе проводится дифференциально-геометрический анализ полученных фигур: вычисляется гауссова кривизна K_G на гладких частях поверхности, описываются особенности генератрисы и порождаемые ими круговые рёбра регрессии при вращении, анализируется поведение интегральных характеристик кривизны в окрестности особенностей.
Главная цель главы — дать корректное геометрическое описание тех точек границы Ω_n, в которых классическая дифференциальная геометрия поверхностей в её гладкой версии неприменима. Особое внимание уделено трём режимам: касанию полуэллиптических дуг при h₁ = 0, их пересечению при h₁ < 0 и обращению в нуль функции зазора d(x) на границе носителя при h = 0. В каждом из этих режимов на поверхности вращения возникают круговые рёбра, для которых требуется отдельное геометрическое описание, а не «доопределение» гауссовой кривизны нулём или конечным значением.
Анализ ведётся для гладкой части генератрисы и для её особых точек по отдельности. Гауссова кривизна гладкой поверхности вращения вычисляется по классической формуле через профиль ψ(x) = радиус как функция оси; рёбра регрессии описываются в терминах одностороннего поведения касательного вектора генератрисы.
9.2. Гауссова кривизна гладкой поверхности вращения
Рассмотрим гладкую поверхность вращения, заданную функцией ψ(x) > 0 на интервале (x₁, x₂):
Σ = { (x, ψ(x) cos φ, ψ(x) sin φ) : x ∈ (x₁, x₂), φ ∈ [0, 2π) }.
Гауссова кривизна K_G в точке (x, φ) вычисляется по классической формуле дифференциальной геометрии поверхностей вращения:
K_G(x) = − ψ″(x) / ( ψ(x) · (1 + ψ′(x)²)² ).
Знак K_G определяется только знаком второй производной ψ″(x): при ψ″(x) > 0 (выпуклый профиль вверх) кривизна отрицательна, при ψ″(x) < 0 (вогнутый профиль) — положительна. Точки ψ″(x) = 0 дают K_G(x) = 0 и соответствуют параболическим линиям на поверхности.
Для базового псевдоэллипсоида Ω₂ функция ψ(x) есть граница интервального состояния I_2(x), то есть ψ(x) = max I_2(x) = d(x) = R − y_act(x), где y_act(x) — активная генератриса (см. главу 2), R = b + h. Производные:
ψ′(x) = −y_act′(x), ψ″(x) = −y_act″(x).
Поскольку для эллиптической дуги y_R(x) = b · √(1 − ((x − a − h₁)/a)²) вторая производная всегда отрицательна на (h₁, a + h₁) (профиль вогнут), имеем y_act″(x) < 0, откуда ψ″(x) > 0 и K_G(x) < 0 на всей гладкой части. Это означает, что поверхность Ω₂ имеет отрицательную гауссову кривизну на всей гладкой части границы, что согласуется с общим характером псевдоповерхностей переменной отрицательной кривизны.
При переходе к Ω_n с n ≥ 3 на каждом шаге C_R генератриса каждой кольцевой полости имеет ту же форму (полуэллиптические дуги, сдвинутые и отражённые), и гауссова кривизна сохраняет отрицательный знак на всех гладких частях. Это фундаментальное свойство всего семейства.
9.3. Поведение K_G в окрестности границы носителя при h = 0
Рассмотрим режим h = 0, при котором линия максимального радиуса R = b совпадает с вершинами полуэллипсов. Функция зазора ψ(x) = d(x) обращается в нуль на границе носителя, где касательная к генератрисе вертикальна.
Введём локальную координату u = x − a (отклонение от правого края правой эллиптической дуги; u → 0⁻ при подходе изнутри носителя). Локальное разложение:
y_act(x) = b · √(1 − ((x − a − h₁)/a)²),
и при h₁ = 0, x = a + u имеем
y_act(a + u) = b · √(1 − (u/a)²) ≈ b · (1 − u²/(2a²)),
откуда
ψ(u) = R − y_act(a + u) = b · u²/(2a²) + O(u⁴).
Производные:
ψ′(u) ≈ b · u/a², ψ″(u) ≈ b/a².
Подставляя в формулу гауссовой кривизны:
K_G(u) = − (b/a²) / ( (b · u²/(2a²)) · (1 + (b · u/a²)²)² ) ≈ − (2/u²) · (1 + O(u²)),
откуда видно, что при u → 0 кривизна расходится как
K_G(u) ∼ −2/u², u → 0.
Это означает, что гауссова кривизна стремится к −∞ при подходе к круговой границе носителя. Поведение характерно для поверхностей с касательным контактом профиля с осью симметрии перпендикулярно ей, и не зависит от значений K, h₁ (при h₁ ≥ 0) и offsets.
Важно подчеркнуть, что эта расходимость не означает патологичности самой границы: интеграл от |K_G| по любой компактной окрестности круговой границы конечен. Действительно, элемент площади на поверхности вращения
dA = ψ(u) · √(1 + ψ′(u)²) du dφ ≈ (b · u²/(2a²)) · du dφ,
и подынтегральное выражение
|K_G| · dA ≈ (2/u²) · (b · u²/(2a²)) du dφ = (b/a²) du dφ
ограничено и интегрируемо. Следовательно,
∫∫_{окрестность границы} |K_G| dA < ∞,
и интегральная кривизна (полная гауссова кривизна) поверхности Ω_n в окрестности круговой границы конечна, несмотря на точечную расходимость K_G. Это согласуется с теоремой Гаусса–Бонне для замкнутых поверхностей с особенностями, в которой полная кривизна определяется через эйлерову характеристику.
9.4. Круговые рёбра регрессии при h₁ = 0
В режиме h₁ = 0 две полуэллиптические дуги y_L(x) и y_R(x) встречаются в точке x = 0, где обе имеют вертикальную касательную с противоположными знаками односторонних производных:
y_L′(0⁻) = −∞, y_R′(0⁺) = +∞.
Это означает, что генератриса y_act(x) = max(y_L(x), y_R(x)) имеет в x = 0 точку возврата (cusp): левая и правая ветви подходят к точке (0, b) с противоположных направлений, обе с вертикальной касательной, причём кривая не продолжается гладко.
При вращении вокруг оси Ox точка (0, b) порождает круговое ребро регрессии — окружность радиуса R = b + h в плоскости x = 0, на которой поверхность Ω_n имеет коническую особенность раскрытого вверх типа. Локальная геометрия в окрестности этого ребра описывается следующим образом.
Введём локальную координату ξ = x − 0 = x вблизи точки касания. Левая дуга при ξ → 0⁻ удовлетворяет
y_L(ξ) = b · √(1 − ((ξ + a)/a)²) = b · √(1 − (1 + ξ/a)²) ≈ b · √(−2ξ/a − ξ²/a²),
откуда при малых |ξ|
y_L(ξ) ≈ b · √(−2ξ/a), ξ → 0⁻.
Аналогично правая дуга
y_R(ξ) ≈ b · √(2ξ/a), ξ → 0⁺.
Обе ветви подходят к точке (0, b)… — постойте: при ξ → 0 обе ветви дают y → 0, а не y → b. Перепроверим.
При h₁ = 0 правая дуга задана как y_R(x) = b · √(1 − ((x − a)/a)²) на интервале x ∈ [0, 2a]. В точке x = 0 имеем y_R(0) = b · √(1 − 1) = 0, а в точке x = a имеем y_R(a) = b. Аналогично y_L(x) = b · √(1 − ((x + a)/a)²) на [−2a, 0], в точке x = 0 даёт y_L(0) = 0, в x = −a даёт b. Значит, активная генератриса y_act(x) = max(y_L, y_R) в окрестности x = 0 не достигает максимума, а наоборот — обращается в нуль.
Это означает, что в режиме h₁ = 0 при x = 0 обе дуги касаются оси Ox, и функция зазора d(x) = R − y_act(x) в этой точке принимает максимальное значение d(0) = R = b + h, а не минимальное. Ребро регрессии возникает не на радиусе R, а на оси Ox: точка (0, 0) на оси симметрии есть точка возврата генератрисы.
Однако точка на оси симметрии при вращении не порождает круговое ребро (окружность радиуса 0 вырождается в точку). Геометрически в режиме h₁ = 0 при x = 0 поверхность Ω_n имеет изолированную особенность на оси симметрии — точку, в которой две ветви тела вращения сходятся к одной оси с вертикальными касательными.
При h ≠ 0 ситуация меняется: линия R = b + h уже не совпадает с вершинами полуэллипсов, и круговая граница носителя смещается. При h > 0 функция d(x) = max(R − y_act(x), 0) обращается в нуль на тех x, где y_act(x) ≥ R; такие x образуют интервал вблизи x = ±a, и носитель базового интервала I_2(x) сужается. При h < 0 функция d(x) обращается в нуль вблизи x = 0 (точка касания дуг с осью), и носитель сужается с другой стороны.
9.5. Круговые рёбра регрессии при h₁ < 0
В режиме h₁ < 0 правая граница левой дуги перекрывает левую границу правой дуги. Активная генератриса y_act(x) = max(y_L(x), y_R(x)) имеет излом в точке пересечения x* = h₁/2, где обе дуги пересекаются:
y_L(x*) = y_R(x*) = y* > 0.
Односторонние производные в этой точке различны:
y_L′(x*) = −b · (x* + a) / (a² · y_L(x*)), y_R′(x*) = −b · (x* − a − h₁) / (a² · y_R(x*)) = −b · (x* − a − h₁) / (a² · y*).
При h₁ < 0 и x* = h₁/2 имеем x* + a > 0 (так как |h₁| < 2a) и x* − a − h₁ = h₁/2 − a − h₁ = −a − h₁/2 < 0 (так как h₁ < 0, и −h₁/2 > 0, но при разумных |h₁| остаётся −a − h₁/2 < 0 при |h₁| < 2a). Следовательно, y_L′(x*) < 0 и y_R′(x*) > 0, и в точке x* генератриса имеет излом снизу: левая ветвь спускается, правая поднимается, обе встречаются в y*.
Это означает, что активная генератриса y_act(x) = max(y_L, y_R) имеет в x локальный максимум типа крыши*, и функция зазора d(x) = R − y_act(x) имеет в x* локальный минимум типа V-образного излома.
При вращении вокруг оси Ox точка излома порождает круговое ребро регрессии — окружность радиуса R − y* в плоскости x = h₁/2. На этом ребре поверхность Ω_n имеет двугранную особенность: две гладкие части границы (соответствующие левой и правой дуге) встречаются под ненулевым углом θ(h₁), определяемым через односторонние производные:
tan(θ/2) = (y_R′(x*) − y_L′(x*)) / 2 · cos²(α),
где α — угол наклона биссектрисы. Точная формула угла:
θ(h₁) = arctan(y_R′(x*)) − arctan(y_L′(x*)) > 0.
В пределе h₁ → 0⁻ имеем x* → 0, y* → 0, и угол θ → π (две ветви становятся противоположными, генератриса вырождается в режим, описанный в разделе 9.4). В пределе h₁ → −2a (предельное перекрытие, дуги касаются друг друга в одной точке симметрично) угол θ → 0 (двугранное ребро вырождается в гладкий стык).
Гауссова кривизна в точках кругового ребра в строгом смысле не определена (нет дважды дифференцируемой параметризации), но интегральная характеристика — геодезическая кривизна границы — корректно определена и пропорциональна углу θ. Интегральная кривизна по двугранному ребру выражается через дополнительный угол π − θ согласно теореме Гаусса–Бонне для поверхностей с угловыми особенностями.
9.6. Систематика особенностей
Сводная систематика особенностей поверхности Ω_n по режимам параметров (h₁, h):
– режим (h₁ > 0, h > 0): генератриса гладкая на всём носителе, плоский участок длины h₁ и непрерывный переход к полуэллиптическим дугам. Особенностей нет, гауссова кривизна K_G < 0 на всей гладкой части, корректно определена и ограничена.
– режим (h₁ > 0, h = 0): круговая граница носителя при x = ±a (и на концах плоского участка) с K_G → −∞ согласно разделу 9.3. Интеграл |K_G| dA по окрестностям границы конечен.
– режим (h₁ > 0, h < 0): круговая граница носителя смещается внутрь полуэллипсов; гладкая часть генератрисы сужается, но топологически структура такая же. Особенностей в виде рёбер регрессии нет.
– режим (h₁ = 0, h > 0): изолированная особенность на оси симметрии при x = 0 (точка возврата генератрисы с вертикальной касательной обеих ветвей при подходе к оси). При вращении эта особенность остаётся изолированной точкой на оси, а не круговым ребром.
– режим (h₁ = 0, h = 0): комбинация двух предыдущих особенностей. Круговая граница при x = ±a с K_G → −∞ и изолированная точка на оси при x = 0. Топологически поверхность остаётся компактной, интегральные характеристики конечны.
– режим (h₁ < 0, h > 0): круговое ребро регрессии при x = h₁/2 с углом θ(h₁) > 0 согласно разделу 9.5. Гладкая часть генератрисы вне ребра остаётся регулярной, K_G < 0.
– режим (h₁ < 0, h ≤ 0): комбинация кругового ребра регрессии при x = h₁/2 и круговой границы носителя с K_G → −∞ при h = 0 или сужения носителя при h < 0.
При переходе к Ω_n с n ≥ 3 каждый шаг C_R порождает копии описанных особенностей в кольцевых полостях. Конкретно: круговая граница каждой ветви C_R наследует особенность типа «h = 0», то есть граничную круговую линию с K_G → −∞; рёбра регрессии при h₁ < 0 копируются в каждой ветви с тем же углом θ; изолированные точки на оси при h₁ = 0 не размножаются (оператор C_R действует на радиальной координате и не порождает новых пересечений с осью).
9.7. Интегральная кривизна и теорема Гаусса–Бонне
Полная гауссова кривизна замкнутой поверхности Ω_n связана с её эйлеровой характеристикой χ через теорему Гаусса–Бонне:
∫∫_Ω_n K_G dA + ∑ (особые вклады) = 2π · χ(Ω_n).
Для гладкой замкнутой поверхности рода g имеем χ = 2 − 2g. Для тела вращения базового псевдоэллипсоида Ω₂ при типичных параметрах (h₁ ≥ 0, h > 0) граница является топологической сферой, χ = 2, и полная кривизна равна 4π.
При наличии круговых рёбер регрессии (h₁ < 0) теорема Гаусса–Бонне дополняется угловым вкладом:
∫∫{гладкая часть} K_G dA + ∫{ребро} (π − θ) ds = 2π · χ,
где интеграл по ребру берётся по длине окружности ребра, а (π − θ) — дополнительный угол двугранного излома.
При наличии круговых границ носителя (h = 0) расходимость K_G → −∞ не нарушает интегрального равенства: подынтегральная величина |K_G| dA остаётся интегрируемой, и интеграл по гладкой части корректно определён в пределе сжимающейся окрестности границы. Топологически такая граница соответствует «закрытию» поверхности в точку (вырожденный полюс), что снижает эффективную эйлерову характеристику на единицу за каждый такой полюс.
Для Ω_n с n ≥ 3 кольцевые полости вносят дополнительные топологические компоненты, и эйлерова характеристика возрастает соответственно. Точная формула:
χ(Ω_n) = 2 · (число замкнутых компонент границы).
Поскольку каждое применение C_R удваивает число кольцевых ветвей (без учёта склеек Merge), эйлерова характеристика растёт согласно соотношению, аналогичному оценке числа компонент в главе 6:
χ(Ω_n) ≤ 2 · 2^{n−2} = 2^{n−1}.
Это даёт верхнюю оценку полной кривизны для семейства Ω_n.
9.8. Линии параболической кривизны
На гладкой части поверхности Ω_n точки с K_G = 0 (параболические линии) соответствуют ψ″(x) = 0. Для базовой эллиптической дуги y(x) = b · √(1 − ((x − x_c)/a)²) вторая производная
y″(x) = −b · (1/a²) / √(1 − ((x − x_c)/a)²) · (1 + ((x − x_c)/a)² · 1/(1 − ((x − x_c)/a)²))
— это выражение знакопостоянно отрицательно на всём интервале определения дуги, и в нуль не обращается. Следовательно, на гладкой части генератрисы базового псевдоэллипсоида параболических линий нет: K_G строго отрицательна.
При переходе к Ω_n с n ≥ 3 каждая кольцевая ветвь имеет ту же эллиптическую структуру, и параболических линий по-прежнему не возникает. Это отличает псевдоэллипсоиды от более общих поверхностей вращения, где смена знака K_G возможна.
Отсутствие параболических линий означает, что на гладкой части Ω_n гауссова кривизна везде строго отрицательна, и поверхность всюду имеет седловидный характер. В сочетании с круговыми границами и рёбрами регрессии это даёт характерный геометрический портрет: непрерывное седловидное поле с дискретными особыми линиями.
9.9. Иллюстративные расчёты
Для качественной ориентации приведём значения гауссовой кривизны в характерных точках для трёх конфигураций главы 6.
Конфигурация А (a = 1, K = 0.5, h₁ = 0, h = 0). В режиме h = 0 функция зазора d(x) обращается в нуль на круговой границе при x = ±a, и K_G(x) → −∞ согласно асимптотике K_G ∼ −2/u². В характерной точке u = 0.1 (то есть x = 0.9) формула раздела 9.3 даёт K_G ≈ −200 в единицах a⁻². При u = 0.5 получаем K_G ≈ −8, при u = 1 (центр носителя) — K_G ≈ −2. Все значения отрицательны и монотонно растут по модулю при приближении к границе.
Конфигурация Б (a = 1, K = 1, h₁ = 0, h = 0.2). В режиме h > 0 круговая граница смещена внутрь, и d(x) > h_min > 0 на компактной части носителя. Гауссова кривизна ограничена. В точке максимума (вершина базового полукружия при x = 0… однако при h₁ = 0 в этой точке имеется изолированная особенность на оси) и в характерных точках вдали от особенности K_G имеет порядок −0.5 ÷ −2 в единицах a⁻².
Конфигурация В (a = 1, K = 1.5, h₁ = −0.4, h = 0). В точке кругового ребра регрессии x* = h₁/2 = −0.2 угол θ(h₁) вычисляется по формулам раздела 9.5. Численно: y_L(−0.2) = y_R(−0.2) ≈ 1.5 · √(1 − ((−0.2 + 1)/1)²) = 1.5 · √(1 − 0.64) = 1.5 · 0.6 = 0.9; производные y_L′(−0.2) ≈ −1.5 · 0.8 / (1 · 0.9) ≈ −1.333; y_R′(−0.2) ≈ +1.333 по симметрии. Угол θ = arctan(1.333) − arctan(−1.333) ≈ 53.1° + 53.1° = 106.2°. Дополнительный угол излома π − θ ≈ 73.8°, что даёт значительный вклад в интегральную кривизну через ребро.
Приведённые численные значения служат для качественной иллюстрации; точные расчёты для нужных приложений требуют интегрирования по сетке с контролем сходимости.
9.10. Итоги главы
В настоящей главе проведён полный дифференциально-геометрический анализ семейства псевдоэллипсоидов Ω_n. Установлены:
– классическая формула гауссовой кривизны K_G(x) = − ψ″(x) / (ψ(x) · (1 + ψ′(x)²)²) для гладкой части поверхности вращения;
– отрицательность K_G на всей гладкой части генератрисы базового псевдоэллипсоида (отсутствие параболических линий);
– асимптотика K_G(u) ∼ −2/u² при подходе к круговой границе носителя в режиме h = 0, с конечностью интеграла |K_G| dA по компактным окрестностям границы;
– описание изолированной особенности на оси симметрии в режиме h₁ = 0 как точки возврата генератрисы;
– описание кругового ребра регрессии в режиме h₁ < 0 через угол излома θ(h₁) и его поведение в предельных случаях;
– полная систематика особенностей по комбинациям режимов (h₁, h);
– связь с теоремой Гаусса–Бонне и оценка эйлеровой характеристики χ(Ω_n) ≤ 2^{n−1};
– отсутствие параболических линий на семействе Ω_n;
– иллюстративные численные значения K_G в характерных точках для трёх конфигураций.
