[1] V. Khaustov. Geometric Wave Engineering: Pseudo-Surfaces of Variable Negative Gaussian Curvature as a Geometric Basis for Programmable Wave Control. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19983291.

[2] V. Khaustov. Geometric wave engineering of ring-localized states in open pseudo-hyperbolic cavities. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19944381.

[3] V. Khaustov. Higher-Order Pseudohyperboloids with the Merge Operation: A Geometric Foundation for Programmable Wave Confinement. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19926174.

[4] V. Khaustov. Geometric Wave Engineering. Theory of Higher-Order Pseudohyperboloids. Volume 1. Constructive Geometry: Recursive Constructions and Computational Apparatus. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/ZENODO.20058260

Б.1. Официальные работы автора

[1] V. Khaustov. Geometric Wave Engineering: Pseudo-Surfaces of Variable Negative Gaussian Curvature as a Geometric Basis for Programmable Wave Control. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19983291.

[2] V. Khaustov. Geometric wave engineering of ring-localized states in open pseudo-hyperbolic cavities. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19944381.

[3] V. Khaustov. Higher-Order Pseudohyperboloids with the Merge Operation: A Geometric Foundation for Programmable Wave Confinement. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/zenodo.19926174.

[4] V. Khaustov. Geometric Wave Engineering. Theory of Higher-Order Pseudohyperboloids. Volume 1. Constructive Geometry: Recursive Constructions and Computational Apparatus. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/ZENODO.20058260

[5] V. Khaustov. Geometric Wave Engineering. Theory of Higher-Order Pseudoparaboloids. Volume 1. Constructive Geometry: Recursive Constructions and Computational Apparatus. Zenodo, 2026. DOI: 10.5281/ZENODO.20022183

Б.2. Дифференциальная геометрия поверхностей

[6] do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. Основной справочник по гауссовой и средней кривизне, поверхностям вращения, формулам первой и второй фундаментальных форм, используемым в главах 7–9.

[7] Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Vol. 2–3. Publish or Perish, 1979. Систематическое изложение интегральной геометрии, теоремы Гаусса–Бонне и поверхностей с особенностями, релевантное для глав 9–10.

[8] Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. 2nd ed. CRC Press, 1997. Источник явных формул кривизны для поверхностей вращения, используемых при выводе формулы K_G в главе 7.

Б.3. Рекурсивная и фрактальная геометрия

[9] Hutchinson, J. E. Fractals and self-similarity. Indiana University Mathematics Journal, 30(5), 713–747, 1981. DOI: 10.1512/iumj.1981.30.30055. Классическая работа по итерируемым системам функций (IFS), методологически родственная итерационной конструкции I_{k+1} = Merge(C_{R_k}(I_k)) глав 3–5.

[10] Falconer, K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. 3rd ed. Wiley, 2014. Базовая монография по геометрии рекурсивных конструкций, размерности Хаусдорфа и предельным множествам итерационных схем; используется как методологический контекст в главе 10.

Приложение А. Обозначения и параметры

А.1. Базовые геометрические параметры

a — продольная полуось исходного эллипса, размерная величина (единица длины). Определяет масштаб базовой образующей.

b — поперечная полуось исходного эллипса, размерная величина (длина). Вычисляется как произведение b = a·K.

K — безразмерное отношение полуосей K = b/a. Является ключевым параметром, разделяющим типы псевдоэллипсоидов: при K < 1 формируется горизонтальный тип, при K > 1 — вертикальный тип.

h1 — действительный параметр (длина), определяющий взаимное положение двух четвертьэллиптических ветвей. От его значения зависят режимы исходной образующей: стык, окно или перекрытие.

h — неотрицательное число (длина), задающее сдвиг уровня оси вращения. Определяет величину R = b + h.

R — положительное число (длина), уровень оси вращения. Входит в определение радиальной функции d(x) = max(R − y(x), 0).

x — действительная осевая координата в меридиональном сечении (длина). Используется при двумерных и трёхмерных построениях.

r — неотрицательная радиальная координата, расстояние от оси x в меридиональном сечении (длина). Определяет интервалы вида [α, β].

φ — угловая координата (радианы), угол вращения вокруг оси x. Используется для построения трёхмерной поверхности вращения.

А.2. Типы псевдоэллипсоидов по параметру K

Горизонтальный тип: Режим определяется условием K < 1. Геометрически соответствует исходным эллипсам, вытянутым вдоль оси x. Является рабочим скриптовым режимом в рамках тома.

Вертикальный тип: Режим определяется условием K > 1. Геометрически соответствует исходным эллипсам, вытянутым поперёк оси x. Также является рабочим скриптовым режимом.

Сферический калибр: Предельный режим при K = 1, при котором четвертьэллипсы переходят в четвертьокружности. Используется как аналитический предел для сравнения, но не является рабочим режимом текущей реализации скрипта.

А.3. Параметр h1 и режимы исходной образующей

Общий стык: Режим реализуется при условии h1 = 0. Левая и правая четвертьэллиптические ветви сходятся в общей точке x=0, что формирует центральную C0-страту границы.

Экваториальное окно: Режим активируется при условии h1 > 0. На осевом промежутке [0, h1] верхняя образующая задаётся как y=0, что после вращения приводит к образованию цилиндрического пояса.

Перекрытие четвертей: Режим возникает при условии -2a < h1 < 0. На области перекрытия образующих ветвей используется их верхняя огибающая, что после вращения формирует угловую линию на границе.

Недопустимое сильное перекрытие: Состояние, определяемое условием h1 ≤ -2a. Соответствует слишком сильному взаимному смещению центров четвертей, требующему отдельной геометрической постановки. Данный режим в Томе 1 не используется.

А.4. Функции базовой образующей

y_L(x) — левая четвертьэллиптическая ветвь, определяется формулой b·sqrt(1 − (x + a)² / a²) на области x ∈ [-a, 0].

y_R(x) — правая четвертьэллиптическая ветвь, определяется формулой b·sqrt(1 − (x − a − h1)² / a²) на области x ∈ [h1, a + h1].

y(x) — итоговая верхняя образующая, представляющая собой сборку функций y_L(x), y_R(x) с учётом режима, заданного параметром h1. Область определения — рабочий осевой интервал.

ψ(x) — функция профиля поверхности вращения, определяемая на гладких участках как ψ(x) = R − y(x) при условии ψ(x) > 0.

d(x) — радиальная функция второго порядка, определяемая как d(x) = max(R − y(x), 0). Область определения — вся осевая расчётная сетка.

А.5. Интервальная рекурсия

I₂(x) — интервал второго порядка, базовый строительный блок: I₂(x) = [0, d(x)].

R_k — k-й рекурсивный offset, элемент списка offsets. Задаёт величину смещения на рекурсивном шаге.

C_R([lo, hi]) — рекурсивный оператор переноса. Применяется к интервалу [lo, hi] и порождает два новых интервала: [max(R − hi, 0), max(R − lo, 0)] и [R + lo, R + hi].

I_n(x) — семейство интервалов n-го порядка. Результат последовательного применения операторов C_{R_k} к базовому интервалу I₂(x).

N_n — число формальных ветвей на этапе до операции Merge. Определяется формулой N_n = 2^{n−2}.

M_n — верхняя радиальная оценка для интервалов n-го порядка. Справедливо неравенство M_n ≤ M₂ + Σ R_k.

offsets — упорядоченный список рекурсивных смещений: offsets = (R₁, …, R_{n−2}).

n — порядок псевдоэллипсоида. Определяется длиной списка смещений: n = len(offsets) + 2.

А.6. Операция Merge и радиальные компоненты

Merge — операция объединения пересекающихся или касающихся интервалов. Производит склейку без добавления ручных соединений.

α_j(x), β_j(x) — нижняя и верхняя границы j-й реальной компоненты после операции Merge. Соответствуют элементам выходных массивов скрипта lo_components[j] и hi_components[j].

lo_components, hi_components — массивы нижних и верхних границ компонент, являющиеся итоговым выходом скрипта для построения 2D/3D геометрии.

Формальная ветвь — интервал, полученный в результате рекурсивного дерева операторов C_R до применения Merge. Отражает генезис геометрической зоны.

Реальная компонента — интервал после применения операции Merge. Непосредственно задаёт область пространства для последующих расчётов.

ε — численный допуск (порог), используемый в алгоритме Merge для корректной обработки касающихся и вырожденных интервалов.

А.7. Рядные параметры

m — целое число (m ≥ 1), количество экземпляров псевдоэллипсоида в ряду.

width — осевая ширина одного экземпляра, вычисляемая как разность между максимальной и минимальной координатой x базовой сетки (x_max − x_min).

h_row — параметр межрядного зазора или перекрытия (длина). Не совпадает с параметром h.

step — шаг между центрами соседних экземпляров в ряду: step = width + h_row.

Δ_j — осевой сдвиг j-го экземпляра в рядной конфигурации: Δ_j = −j·step.

Режимы рядности:

h_row > 0: экземпляры разнесены, между ними существует зазор.

h_row = 0: экземпляры соприкасаются, предельный режим.

h_row < 0: экземпляры перекрываются, что активирует операцию Merge между соседними копиями.

А.8. Пространственные области

Ω_n — одиночная трёхмерная область n-го порядка. Образуется вращением семейства интервалов I_n(x) вокруг оси x.

Ω_{n,m} — рядная область n-го порядка, состоящая из m экземпляров. Строится как объединение m сдвинутых копий области Ω_n с последующим глобальным применением операции Merge.

∂Ω — граница области. Включает внешние гладкие участки, внутренние границы (при наличии полостей) и линии/поверхности, образованные операцией Merge.

R³ — трёхмерное евклидово пространство, в котором задаётся геометрия области.

S — поверхность вращения, представляющая собой гладкую страту границы или всю границу целиком.

А.9. Кривизна и стратификация границы

K_G — гауссова кривизна поверхности вращения. На гладких участках, где ψ > 0, вычисляется по формуле: K_G = − ψ» / [ψ·(1 + ψ’²)²].

H — средняя кривизна поверхности. Упоминается как геометрическая характеристика, но в рамках тома детально не используется.

Гладкая дуга — C²-гладкий участок границы, соответствующий эллиптической части образующей. Для него при ψ > 0 выполняется K_G < 0.

Центральный стык — особенность границы при h1 = 0. Представляет собой точку (в 2D) или линию (в 3D) с непрерывностью C⁰, но не C¹.

Полюс — точка касания гладкой дуги с осью вращения при h = 0. В окрестности этой точки при приближении по гладкой дуге величина |K_G| стремится к бесконечности.

Цилиндрический пояс — участок границы, возникающий в режиме h1 > 0. Характеризуется нулевой гауссовой кривизной (K_G = 0).

Угловая огибающая — страта границы, образующаяся в режиме перекрытия (h1 < 0) в месте переключения активной ветви образующей.

Merge-граница — граница, возникающая после объединения интервалов операцией Merge. Относится к классу кусочно-гладких границ.

А.10. Интегральные характеристики

A_n(x) — площадь поперечного (перпендикулярного оси x) радиального сечения одиночной области n-го порядка. Вычисляется по формуле: A_n(x) = π·Σ_j (β_j(x)² − α_j(x)²).

V_n — объём одиночной области n-го порядка: V_n = ∫ A_n(x) dx.

V_{n,m} — объём рядной области Ω_{n,m}: V_{n,m} = ∫ A_{n,m}(x) dx, где A_{n,m}(x) — площадь сечения после глобального Merge всех рядных экземпляров.

S_sphere — площадь сферы, выступающая как аналитический калибровочный предел при K=1: S_sphere = 4πa².

V_ball — объём шара, выступающий как аналитический калибровочный предел при K=1: V_ball = (4/3)πa³.

Настоящий том завершает формирование фундаментального геометрического базиса программы «Геометрическая Волновая Инженерия» (ГВИ), вводя псевдоэллипсоиды высших порядков как третью, заключительную ветвь конструктивной триады псевдоповерхностей.

В отличие от классических методов проектирования резонаторов, где инженер оптимизирует размеры жестко заданной формы, данная теория предлагает парадигму программируемой топологии. Осесимметричные области Ω_n и Ω_{n,m} формируются не путем вращения гладких кривых, а посредством рекурсивной интервальной алгебры, где форма генерируется алгоритмически.

11.1. Создан аппарат интервально-рекурсивной геометрии

Теория переведена с языка визуальных ветвей на строгий язык интервальных состояний I_n(x). Определен рекурсивный оператор C_R и формализована канонизирующая операция Merge. Доказано, что именно Merge обеспечивает физическую корректность расчетной области, переводя экспоненциально растущее формальное дерево ветвей в конечное, попарно непересекающееся множество реальных радиальных зон.

11.2. Доказаны базовые свойства псевдоэллипсоидных областей

В томе строго установлены математические свойства сконструированного класса:

Корректность и идемпотентность операции Merge;

Неотрицательность и ограниченность радиальных состояний;

Конечность числа компонент на любом шаге рекурсии;

Компактность пространственных областей Ω_n и Ω_{n,m};

Масштабная инвариантность геометрических функционалов (площадей сечений и объемов).

11.3. Формализовано ортогональное параметрическое пространство

Доказано, что псевдоэллипсоиды обладают собственным, уникальным набором независимых управляющих параметров, не сводимым к гиперболическому или параболическому классам:

K = b/a — определяет тип базовой геометрической формы (горизонтальный, вертикальный или предельный сферический);

h_1 — управляет топологией сопряжения четвертьэллипсов, формируя уникальные режимы центрального стыка, экваториального окна или перекрытия с верхней огибающей;

h — задает уровень оси вращения и размер торцевого раскрытия;

R_k (offsets) — управляют формированием рекурсивной многозонной архитектуры;

m и h_row — определяют осевую компоновку и топологическую связность рядной системы Ω_{n,m}.

11.4. Зафиксирована строгая эпистемологическая демаркация

Важнейшим методологическим итогом тома является систематическое разделение доказанных геометрических фактов и ожидаемых физических эффектов. Настоящий том не постулирует псевдоэллипсоиды как универсальные волновые ловушки. Утверждения о локализации энергии, формировании квазисвязанных состояний в континууме (BIC), высокой добротности (Q) или фильтрации спектральных окон вынесены за рамки доказанной геометрии. Они строго классифицированы как фальсифицируемые гипотезы.

11.5. Вектор дальнейших исследований

С завершением данного тома заканчивается чисто геометрический этап развития программы ГВИ. Сформирован строгий математический объект, воспроизводимый вычислительный стандарт и параметрический паспорт формы.

Следующий этап исследований переходит в область вычислительной физики. Построенные области Ω_{n,m} будут использованы в качестве расчетных доменов для программы полноволновой верификации (критерии C1–C8). Применение уравнений Гельмгольца, Максвелла и акустических волновых моделей покажет, насколько созданная рекурсивная геометрия способна выступать активным механизмом локализации, удержания и направленного вывода волновой энергии.

Если оставить теорию только в таком виде, то две геометрически одинаковые области, отличающиеся только масштабом, будут выглядеть как разные объекты. Для конструктивной геометрии это неприемлемо, потому что предметом теории является не единичная физическая деталь, а класс геометрически подобных областей.

Поэтому глава вводит безразмерную форму описания. Она выполняет три функции. Во-первых, устраняет зависимость от единиц измерения. Во-вторых, фиксирует, какие параметры отвечают за собственную форму, а какие — только за абсолютный масштаб. В-третьих, подготавливает корректный мост к будущей волновой верификации, где существенными будут не абсолютные длины, а отношения размеров к длине волны или к волновому числу.

10.1. Размерная и безразмерная геометрия

Размерная геометрия использует величины, имеющие физическую единицу длины: a, b, h₁, h, Rₖ, координаты x и ρ, шаг рядной системы, радиусы окон и другие линейные параметры. Такая запись удобна при построении конкретной фигуры, но она скрывает главный инвариант: форму.

Безразмерная геометрия отделяет форму от масштаба. Для этого выбирается базовый линейный масштаб a>0, после чего все координаты и все линейные параметры делятся на a. В результате абсолютный размер исчезает, а остаётся паспорт формы: отношения полуосей, нормированные смещения, нормированные рекурсивные offsets, нормированные параметры открытости и рядности.

x̂ = x/a,     ρ̂ = ρ/a,     Ω̂ₙ = a⁻¹ Ωₙ.

Здесь символ «шляпка» означает безразмерную величину. Такая запись не является новым объектом; она является тем же самым объектом, но описанным в координатах собственной формы.

Рис. 10.1. Переход от размерной геометрии к безразмерному паспорту. Все линейные параметры нормируются на выбранный базовый масштаб a, после чего остаются только параметры формы.

10.2. Выбор базового масштаба для псевдоэллипсоидов

Для псевдоэллипсоидов естественным базовым масштабом является продольная полуось исходного эллипса a. Именно она входит в определение двух четвертьэллиптических ветвей и задаёт исходный продольный размер seed-геометрии. При таком выборе параметр b переводится в отношение K=b/a, а сдвиги h₁ и h становятся безразмерными величинами χ и η.

K = b/a,     χ = h₁/a,     η = h/a.

Если в некоторой нормировке уже принято a=1, то параметры K, h₁ и h могут записываться как безразмерные. Однако в канонической теории лучше явно помнить их происхождение: K всегда является отношением полуосей, а h₁ и h являются нормированными длинами, если исходная запись была размерной.

Радиус смещённой оси вращения также получает безразмерный вид. Если R=b+h, то после деления на a имеем

R̂ = R/a = K + η.

Это соотношение важно для псевдоэллипсоидов, потому что оно показывает: положение оси вращения определяется не абсолютной высотой, а сочетанием формы K и нормированного смещения η.

10.3. Нормированные координаты и seed-параметры

В качестве базового масштаба выбирается продольная полуось исходного эллипса a. Тогда нормированные координаты задаются как

x̂ = x/a,     ρ̂ = ρ/a.

Базовые геометрические параметры переходят в безразмерные отношения:

K = b/a,     χ = h₁/a,     η = h/a.

Здесь K задаёт тип исходной эллиптической геометрии; χ задаёт относительный горизонтальный сдвиг правой четверти; η задаёт относительный подъём или опускание оси вращения. Параметр R=b+h в безразмерной форме записывается как

R̂ = R/a = K + η.

Выбор a как масштаба не является единственно возможным. Можно нормировать на Mₙ, W или Vₙ^{1/3}. Однако для настоящего тома нормировка по a наиболее естественна, потому что a входит в исходные четвертьэллипсы и задаёт общий осевой масштаб seed-геометрии.

Рис. 10.2. Безразмерная нормировка базовой эллиптической геометрии. Размерные параметры переводятся в отношения K=b/a, χ=h₁/a и η=h/a.

10.4. Безразмерные интервальные состояния

Если Iₙ(x) является размерным интервальным состоянием, то его безразмерная форма определяется делением всех радиальных границ на a:

Îₙ(x̂) = { ρ̂ : aρ̂ ∈ Iₙ(ax̂) }.

Для второго порядка это даёт

Î₂(x̂) = [0, d̂(x̂)],     d̂(x̂)=d(ax̂)/a.

Поскольку базовая образующая после нормировки зависит только от K, χ и η, вся seed-часть геометрии становится функцией безразмерных параметров. При этом точки стыка, разрыва, перекрытия и активной обрезки не исчезают: они переходят в соответствующие безразмерные страты.

10.5. Безразмерная форма рекурсивного оператора

Пусть γ_k обозначает нормированный offset:

γ_k = R_k/a.

Тогда оператор C_R в нормированных радиальных координатах принимает вид

C_γ([α̂, β̂]) = [max(γ−β̂, 0), max(γ−α̂, 0)] ∪ [γ+α̂, γ+β̂].

Эта запись заменяет прежнюю ASCII-форму и приводит формулу к единому математическому стилю всей книги. Она показывает, что рекурсия зависит не от абсолютных R_k, а от их отношения к базовому масштабу a.

Безразмерный рекурсивный шаг записывается как

Î_{k+1}(x̂) = Merge( ⋃_{[α̂,β̂]∈Î_k(x̂)} C_{γ_{k−1}}([α̂,β̂]) ).

Следовательно, если два размерных объекта имеют одинаковые K, χ, η и все γ_k, то их интервальная рекурсия в нормированных координатах совпадает.

Рис. 10.3. Безразмерная форма рекурсивного оператора C_gamma. Разностная и суммарная зоны строятся в нормированных радиальных координатах, после чего применяется Merge.

10.6. Безразмерная рядность

Рядная система также нормируется по a. Если h_row обозначает подписанный зазор, касание или перекрытие соседних экземпляров, то

η_row = h_row/a.

Если W — осевая ширина одного экземпляра, а step=W+h_row — шаг рядной компоновки, то

Ŵ = W/a,     step̂ = Ŵ + η_row.

Рядность не вводит новый абсолютный масштаб. Она добавляет безразмерный параметр компоновки η_row, который определяет режим разнесения, касания или перекрытия копий. При этом внутренний порядок n каждого экземпляра не меняется.

10.7. Теорема 10.1. Масштабная инвариантность псевдоэллипсоидов высших порядков

Теорема 10.1. Пусть все линейные параметры псевдоэллипсоида высшего порядка умножаются на один и тот же коэффициент s>0:

(a,b,h₁,h,R₁,…,Rₙ₋₂,h_row) ↦ s(a,b,h₁,h,R₁,…,Rₙ₋₂,h_row).

Тогда безразмерные параметры K, χ, η, γ_k и η_row не изменяются, а безразмерные области Ω̂ₙ и Ω̂ₙ,ₘ сохраняют одну и ту же форму, интервальную структуру, число компонент и морфологический паспорт.

Доказательство.

При однородном масштабировании все линейные величины умножаются на s. Поэтому отношения b/a, h₁/a, h/a, R_k/a и h_row/a остаются теми же. Нормированные координаты x̂=x/a и ρ̂=ρ/a также сохраняют координатное описание формы. Следовательно, seed-профиль d̂ не меняется.

Безразмерный рекурсивный оператор зависит только от γ_k. Так как все γ_k инвариантны, вся последовательность Î₂, Î₃, …, Îₙ сохраняется. Операция Merge зависит только от пересечения и касания интервалов в безразмерной координате, поэтому она даёт тот же канонический результат. Рядная компоновка зависит от η_row и Ŵ, которые также сохраняются. Следовательно, Ω̂ₙ, Ω̂ₙ,ₘ и их морфологические признаки не меняются. Теорема доказана.

Рис. 10.4. Масштабная инвариантность. Однородное увеличение всех линейных параметров меняет абсолютные длины, но не меняет форму в безразмерных координатах.

10.8. Явный список безразмерных инвариантов

Для исключения разброса обозначений по тексту введём единый список инвариантов псевдоэллипсоида высшего порядка. Геометрический паспорт включает:

K=b/a — инвариант формы исходных эллиптических четвертей; χ=h₁/a — инвариант сдвига правой четверти; η=h/a — инвариант положения оси вращения; γ_k=R_k/a — инварианты рекурсивных смещений; η_row=h_row/a — инвариант рядной компоновки; n — внутренний порядок; m — число рядных экземпляров.

Для перехода к волновым задачам одного геометрического паспорта недостаточно. Дополнительно вводятся волновые безразмерные параметры:

ka=(2π/λ)a,     kR_k,     k·d_tip,     k·w_eq,     k·r_throat.

Здесь d_tip=max(h,0) — реальный торцевой радиус; w_eq=max(h₁,0) — ширина экваториального промежутка; r_throat — радиус шейки в трёхфокусном подсемействе, если она геометрически реализована.

Две конфигурации с одинаковыми геометрическими инвариантами геометрически подобны. Две волновые постановки можно считать волново сопоставимыми только при совпадении также волновых инвариантов, типа уравнения, материала, граничных условий и способа возбуждения. Поэтому фраза «одинаковые инварианты дают одинаковую физику» без этих условий была бы некорректной.

Рис. 10.5. Безразмерный паспорт конфигурации. Геометрические инварианты задают класс подобия, а волновые инварианты нужны только на этапе последующей PDE-верификации.

10.9. Следствия для геометрических функционалов

Из Теоремы 10.1 следует масштабирование основных геометрических функционалов. Если все линейные размеры умножены на s, то длины умножаются на s, площади сечений и площади границы — на s², а объёмы — на s³.

Mₙ ↦ sMₙ,     Aₙ ↦ s²Aₙ,     Sₙ ↦ s²Sₙ,     Vₙ ↦ s³Vₙ.

Для рядной системы действует тот же закон, поскольку она является конечным объединением перенесённых копий. Объёмный дефект перекрытия также масштабируется как объём:

ΔVₙ,ₘ ↦ s³ΔVₙ,ₘ.

Эти следствия являются геометрическими. Они не утверждают, что коэффициент передачи, добротность или диаграмма направленности масштабируются так же. Такие величины зависят от волновой постановки.

Рис. 10.6. Масштабирование геометрических функционалов. Длины масштабируются как s, площади — как s², объёмы — как s³.

10.10. Масштабная инвариантность и будущая волновая верификация

Для будущей волновой задачи важны не только K, χ, η, γ_k и η_row, но и спектральные параметры: ka, kR, kR_k, отношение ширины окна к длине волны, отношение шейки к длине волны и другие комбинации геометрии с волновым масштабом.

ka,     kR,     kR_k,     d_tip/λ,     w_eq/λ,     r_throat/λ.

Поэтому результат главы нужно формулировать строго: геометрическая часть масштабно инвариантна. Но наличие локализации, спектральных окон, направленного вывода, высокой добротности или межфизической универсальности из этого автоматически не следует. Эти утверждения относятся к программе C1–C8 и должны проверяться отдельно.

Рис. 10.7. Безразмерная геометрия как мост к будущей волновой верификации. Масштабная инвариантность необходима для C6, но сама по себе не закрывает C2-C8.

10.11. Выводы главы

Глава приводит теорию псевдоэллипсоидов высших порядков к единой безразмерной форме. Исправлена формула C_γ, а теорема масштабной инвариантности получила корректный номер Теорема 10.1.

Введён явный список безразмерных инвариантов: K, χ, η, γ_k, η_row, n и m для геометрии; ka, kR_k, k·d_tip, k·w_eq и k·r_throat для будущей волновой постановки. Это устраняет разброс обозначений и делает конфигурации сопоставимыми между собой.

Доказано, что при однородном масштабировании всех линейных параметров безразмерная форма, рекурсивная структура, Merge-канонизация, компонентность и морфологический паспорт не меняются. Размерные длины, площади и объёмы масштабируются соответственно как s, s² и s³.

Глава не делает физического вывода о доказанном управлении волнами. Она устанавливает необходимую геометрическую основу для критерия C6 и задаёт язык, на котором в следующих томах должны формулироваться проверяемые волновые задачи.

9.1. Постановка задачи

В предыдущих главах построено семейство псевдоэллипсоидов Ω_n как тел вращения интервальных состояний I_n(x) и установлены конструктивные свойства итерационной схемы. В настоящей главе проводится дифференциально-геометрический анализ полученных фигур: вычисляется гауссова кривизна K_G на гладких частях поверхности, описываются особенности генератрисы и порождаемые ими круговые рёбра регрессии при вращении, анализируется поведение интегральных характеристик кривизны в окрестности особенностей.

Главная цель главы — дать корректное геометрическое описание тех точек границы Ω_n, в которых классическая дифференциальная геометрия поверхностей в её гладкой версии неприменима. Особое внимание уделено трём режимам: касанию полуэллиптических дуг при h₁ = 0, их пересечению при h₁ < 0 и обращению в нуль функции зазора d(x) на границе носителя при h = 0. В каждом из этих режимов на поверхности вращения возникают круговые рёбра, для которых требуется отдельное геометрическое описание, а не «доопределение» гауссовой кривизны нулём или конечным значением.

Анализ ведётся для гладкой части генератрисы и для её особых точек по отдельности. Гауссова кривизна гладкой поверхности вращения вычисляется по классической формуле через профиль ψ(x) = радиус как функция оси; рёбра регрессии описываются в терминах одностороннего поведения касательного вектора генератрисы.

9.2. Гауссова кривизна гладкой поверхности вращения

Рассмотрим гладкую поверхность вращения, заданную функцией ψ(x) > 0 на интервале (x₁, x₂):

Σ = { (x, ψ(x) cos φ, ψ(x) sin φ) : x ∈ (x₁, x₂), φ ∈ [0, 2π) }.

Гауссова кривизна K_G в точке (x, φ) вычисляется по классической формуле дифференциальной геометрии поверхностей вращения:

K_G(x) = − ψ″(x) / ( ψ(x) · (1 + ψ′(x)²)² ).

Знак K_G определяется только знаком второй производной ψ″(x): при ψ″(x) > 0 (выпуклый профиль вверх) кривизна отрицательна, при ψ″(x) < 0 (вогнутый профиль) — положительна. Точки ψ″(x) = 0 дают K_G(x) = 0 и соответствуют параболическим линиям на поверхности.

Для базового псевдоэллипсоида Ω₂ функция ψ(x) есть граница интервального состояния I_2(x), то есть ψ(x) = max I_2(x) = d(x) = R − y_act(x), где y_act(x) — активная генератриса (см. главу 2), R = b + h. Производные:

ψ′(x) = −y_act′(x), ψ″(x) = −y_act″(x).

Поскольку для эллиптической дуги y_R(x) = b · √(1 − ((x − a − h₁)/a)²) вторая производная всегда отрицательна на (h₁, a + h₁) (профиль вогнут), имеем y_act″(x) < 0, откуда ψ″(x) > 0 и K_G(x) < 0 на всей гладкой части. Это означает, что поверхность Ω₂ имеет отрицательную гауссову кривизну на всей гладкой части границы, что согласуется с общим характером псевдоповерхностей переменной отрицательной кривизны.

При переходе к Ω_n с n ≥ 3 на каждом шаге C_R генератриса каждой кольцевой полости имеет ту же форму (полуэллиптические дуги, сдвинутые и отражённые), и гауссова кривизна сохраняет отрицательный знак на всех гладких частях. Это фундаментальное свойство всего семейства.

9.3. Поведение K_G в окрестности границы носителя при h = 0

Рассмотрим режим h = 0, при котором линия максимального радиуса R = b совпадает с вершинами полуэллипсов. Функция зазора ψ(x) = d(x) обращается в нуль на границе носителя, где касательная к генератрисе вертикальна.

Введём локальную координату u = x − a (отклонение от правого края правой эллиптической дуги; u → 0⁻ при подходе изнутри носителя). Локальное разложение:

y_act(x) = b · √(1 − ((x − a − h₁)/a)²),

и при h₁ = 0, x = a + u имеем

y_act(a + u) = b · √(1 − (u/a)²) ≈ b · (1 − u²/(2a²)),

откуда

ψ(u) = R − y_act(a + u) = b · u²/(2a²) + O(u⁴).

Производные:

ψ′(u) ≈ b · u/a², ψ″(u) ≈ b/a².

Подставляя в формулу гауссовой кривизны:

K_G(u) = − (b/a²) / ( (b · u²/(2a²)) · (1 + (b · u/a²)²)² ) ≈ − (2/u²) · (1 + O(u²)),

откуда видно, что при u → 0 кривизна расходится как

K_G(u) ∼ −2/u², u → 0.

Это означает, что гауссова кривизна стремится к −∞ при подходе к круговой границе носителя. Поведение характерно для поверхностей с касательным контактом профиля с осью симметрии перпендикулярно ей, и не зависит от значений K, h₁ (при h₁ ≥ 0) и offsets.

Важно подчеркнуть, что эта расходимость не означает патологичности самой границы: интеграл от |K_G| по любой компактной окрестности круговой границы конечен. Действительно, элемент площади на поверхности вращения

dA = ψ(u) · √(1 + ψ′(u)²) du dφ ≈ (b · u²/(2a²)) · du dφ,

и подынтегральное выражение

|K_G| · dA ≈ (2/u²) · (b · u²/(2a²)) du dφ = (b/a²) du dφ

ограничено и интегрируемо. Следовательно,

∫∫_{окрестность границы} |K_G| dA < ∞,

и интегральная кривизна (полная гауссова кривизна) поверхности Ω_n в окрестности круговой границы конечна, несмотря на точечную расходимость K_G. Это согласуется с теоремой Гаусса–Бонне для замкнутых поверхностей с особенностями, в которой полная кривизна определяется через эйлерову характеристику.

9.4. Круговые рёбра регрессии при h₁ = 0

В режиме h₁ = 0 две полуэллиптические дуги y_L(x) и y_R(x) встречаются в точке x = 0, где обе имеют вертикальную касательную с противоположными знаками односторонних производных:

y_L′(0⁻) = −∞, y_R′(0⁺) = +∞.

Это означает, что генератриса y_act(x) = max(y_L(x), y_R(x)) имеет в x = 0 точку возврата (cusp): левая и правая ветви подходят к точке (0, b) с противоположных направлений, обе с вертикальной касательной, причём кривая не продолжается гладко.

При вращении вокруг оси Ox точка (0, b) порождает круговое ребро регрессии — окружность радиуса R = b + h в плоскости x = 0, на которой поверхность Ω_n имеет коническую особенность раскрытого вверх типа. Локальная геометрия в окрестности этого ребра описывается следующим образом.

Введём локальную координату ξ = x − 0 = x вблизи точки касания. Левая дуга при ξ → 0⁻ удовлетворяет

y_L(ξ) = b · √(1 − ((ξ + a)/a)²) = b · √(1 − (1 + ξ/a)²) ≈ b · √(−2ξ/a − ξ²/a²),

откуда при малых |ξ|

y_L(ξ) ≈ b · √(−2ξ/a), ξ → 0⁻.

Аналогично правая дуга

y_R(ξ) ≈ b · √(2ξ/a), ξ → 0⁺.

Обе ветви подходят к точке (0, b)… — постойте: при ξ → 0 обе ветви дают y → 0, а не y → b. Перепроверим.

При h₁ = 0 правая дуга задана как y_R(x) = b · √(1 − ((x − a)/a)²) на интервале x ∈ [0, 2a]. В точке x = 0 имеем y_R(0) = b · √(1 − 1) = 0, а в точке x = a имеем y_R(a) = b. Аналогично y_L(x) = b · √(1 − ((x + a)/a)²) на [−2a, 0], в точке x = 0 даёт y_L(0) = 0, в x = −a даёт b. Значит, активная генератриса y_act(x) = max(y_L, y_R) в окрестности x = 0 не достигает максимума, а наоборот — обращается в нуль.

Это означает, что в режиме h₁ = 0 при x = 0 обе дуги касаются оси Ox, и функция зазора d(x) = R − y_act(x) в этой точке принимает максимальное значение d(0) = R = b + h, а не минимальное. Ребро регрессии возникает не на радиусе R, а на оси Ox: точка (0, 0) на оси симметрии есть точка возврата генератрисы.

Однако точка на оси симметрии при вращении не порождает круговое ребро (окружность радиуса 0 вырождается в точку). Геометрически в режиме h₁ = 0 при x = 0 поверхность Ω_n имеет изолированную особенность на оси симметрии — точку, в которой две ветви тела вращения сходятся к одной оси с вертикальными касательными.

При h ≠ 0 ситуация меняется: линия R = b + h уже не совпадает с вершинами полуэллипсов, и круговая граница носителя смещается. При h > 0 функция d(x) = max(R − y_act(x), 0) обращается в нуль на тех x, где y_act(x) ≥ R; такие x образуют интервал вблизи x = ±a, и носитель базового интервала I_2(x) сужается. При h < 0 функция d(x) обращается в нуль вблизи x = 0 (точка касания дуг с осью), и носитель сужается с другой стороны.

9.5. Круговые рёбра регрессии при h₁ < 0

В режиме h₁ < 0 правая граница левой дуги перекрывает левую границу правой дуги. Активная генератриса y_act(x) = max(y_L(x), y_R(x)) имеет излом в точке пересечения x* = h₁/2, где обе дуги пересекаются:

y_L(x*) = y_R(x*) = y* > 0.

Односторонние производные в этой точке различны:

y_L′(x*) = −b · (x* + a) / (a² · y_L(x*)), y_R′(x*) = −b · (x* − a − h₁) / (a² · y_R(x*)) = −b · (x* − a − h₁) / (a² · y*).

При h₁ < 0 и x* = h₁/2 имеем x* + a > 0 (так как |h₁| < 2a) и x* − a − h₁ = h₁/2 − a − h₁ = −a − h₁/2 < 0 (так как h₁ < 0, и −h₁/2 > 0, но при разумных |h₁| остаётся −a − h₁/2 < 0 при |h₁| < 2a). Следовательно, y_L′(x*) < 0 и y_R′(x*) > 0, и в точке x* генератриса имеет излом снизу: левая ветвь спускается, правая поднимается, обе встречаются в y*.

Это означает, что активная генератриса y_act(x) = max(y_L, y_R) имеет в x локальный максимум типа крыши*, и функция зазора d(x) = R − y_act(x) имеет в x* локальный минимум типа V-образного излома.

При вращении вокруг оси Ox точка излома порождает круговое ребро регрессии — окружность радиуса R − y* в плоскости x = h₁/2. На этом ребре поверхность Ω_n имеет двугранную особенность: две гладкие части границы (соответствующие левой и правой дуге) встречаются под ненулевым углом θ(h₁), определяемым через односторонние производные:

tan(θ/2) = (y_R′(x*) − y_L′(x*)) / 2 · cos²(α),

где α — угол наклона биссектрисы. Точная формула угла:

θ(h₁) = arctan(y_R′(x*)) − arctan(y_L′(x*)) > 0.

В пределе h₁ → 0⁻ имеем x* → 0, y* → 0, и угол θ → π (две ветви становятся противоположными, генератриса вырождается в режим, описанный в разделе 9.4). В пределе h₁ → −2a (предельное перекрытие, дуги касаются друг друга в одной точке симметрично) угол θ → 0 (двугранное ребро вырождается в гладкий стык).

Гауссова кривизна в точках кругового ребра в строгом смысле не определена (нет дважды дифференцируемой параметризации), но интегральная характеристика — геодезическая кривизна границы — корректно определена и пропорциональна углу θ. Интегральная кривизна по двугранному ребру выражается через дополнительный угол π − θ согласно теореме Гаусса–Бонне для поверхностей с угловыми особенностями.

9.6. Систематика особенностей

Сводная систематика особенностей поверхности Ω_n по режимам параметров (h₁, h):

– режим (h₁ > 0, h > 0): генератриса гладкая на всём носителе, плоский участок длины h₁ и непрерывный переход к полуэллиптическим дугам. Особенностей нет, гауссова кривизна K_G < 0 на всей гладкой части, корректно определена и ограничена.

– режим (h₁ > 0, h = 0): круговая граница носителя при x = ±a (и на концах плоского участка) с K_G → −∞ согласно разделу 9.3. Интеграл |K_G| dA по окрестностям границы конечен.

– режим (h₁ > 0, h < 0): круговая граница носителя смещается внутрь полуэллипсов; гладкая часть генератрисы сужается, но топологически структура такая же. Особенностей в виде рёбер регрессии нет.

– режим (h₁ = 0, h > 0): изолированная особенность на оси симметрии при x = 0 (точка возврата генератрисы с вертикальной касательной обеих ветвей при подходе к оси). При вращении эта особенность остаётся изолированной точкой на оси, а не круговым ребром.

– режим (h₁ = 0, h = 0): комбинация двух предыдущих особенностей. Круговая граница при x = ±a с K_G → −∞ и изолированная точка на оси при x = 0. Топологически поверхность остаётся компактной, интегральные характеристики конечны.

– режим (h₁ < 0, h > 0): круговое ребро регрессии при x = h₁/2 с углом θ(h₁) > 0 согласно разделу 9.5. Гладкая часть генератрисы вне ребра остаётся регулярной, K_G < 0.

– режим (h₁ < 0, h ≤ 0): комбинация кругового ребра регрессии при x = h₁/2 и круговой границы носителя с K_G → −∞ при h = 0 или сужения носителя при h < 0.

При переходе к Ω_n с n ≥ 3 каждый шаг C_R порождает копии описанных особенностей в кольцевых полостях. Конкретно: круговая граница каждой ветви C_R наследует особенность типа «h = 0», то есть граничную круговую линию с K_G → −∞; рёбра регрессии при h₁ < 0 копируются в каждой ветви с тем же углом θ; изолированные точки на оси при h₁ = 0 не размножаются (оператор C_R действует на радиальной координате и не порождает новых пересечений с осью).

9.7. Интегральная кривизна и теорема Гаусса–Бонне

Полная гауссова кривизна замкнутой поверхности Ω_n связана с её эйлеровой характеристикой χ через теорему Гаусса–Бонне:

∫∫_Ω_n K_G dA + ∑ (особые вклады) = 2π · χ(Ω_n).

Для гладкой замкнутой поверхности рода g имеем χ = 2 − 2g. Для тела вращения базового псевдоэллипсоида Ω₂ при типичных параметрах (h₁ ≥ 0, h > 0) граница является топологической сферой, χ = 2, и полная кривизна равна 4π.

При наличии круговых рёбер регрессии (h₁ < 0) теорема Гаусса–Бонне дополняется угловым вкладом:

∫∫{гладкая часть} K_G dA + ∫{ребро} (π − θ) ds = 2π · χ,

где интеграл по ребру берётся по длине окружности ребра, а (π − θ) — дополнительный угол двугранного излома.

При наличии круговых границ носителя (h = 0) расходимость K_G → −∞ не нарушает интегрального равенства: подынтегральная величина |K_G| dA остаётся интегрируемой, и интеграл по гладкой части корректно определён в пределе сжимающейся окрестности границы. Топологически такая граница соответствует «закрытию» поверхности в точку (вырожденный полюс), что снижает эффективную эйлерову характеристику на единицу за каждый такой полюс.

Для Ω_n с n ≥ 3 кольцевые полости вносят дополнительные топологические компоненты, и эйлерова характеристика возрастает соответственно. Точная формула:

χ(Ω_n) = 2 · (число замкнутых компонент границы).

Поскольку каждое применение C_R удваивает число кольцевых ветвей (без учёта склеек Merge), эйлерова характеристика растёт согласно соотношению, аналогичному оценке числа компонент в главе 6:

χ(Ω_n) ≤ 2 · 2^{n−2} = 2^{n−1}.

Это даёт верхнюю оценку полной кривизны для семейства Ω_n.

9.8. Линии параболической кривизны

На гладкой части поверхности Ω_n точки с K_G = 0 (параболические линии) соответствуют ψ″(x) = 0. Для базовой эллиптической дуги y(x) = b · √(1 − ((x − x_c)/a)²) вторая производная

y″(x) = −b · (1/a²) / √(1 − ((x − x_c)/a)²) · (1 + ((x − x_c)/a)² · 1/(1 − ((x − x_c)/a)²))

— это выражение знакопостоянно отрицательно на всём интервале определения дуги, и в нуль не обращается. Следовательно, на гладкой части генератрисы базового псевдоэллипсоида параболических линий нет: K_G строго отрицательна.

При переходе к Ω_n с n ≥ 3 каждая кольцевая ветвь имеет ту же эллиптическую структуру, и параболических линий по-прежнему не возникает. Это отличает псевдоэллипсоиды от более общих поверхностей вращения, где смена знака K_G возможна.

Отсутствие параболических линий означает, что на гладкой части Ω_n гауссова кривизна везде строго отрицательна, и поверхность всюду имеет седловидный характер. В сочетании с круговыми границами и рёбрами регрессии это даёт характерный геометрический портрет: непрерывное седловидное поле с дискретными особыми линиями.

9.9. Иллюстративные расчёты

Для качественной ориентации приведём значения гауссовой кривизны в характерных точках для трёх конфигураций главы 6.

Конфигурация А (a = 1, K = 0.5, h₁ = 0, h = 0). В режиме h = 0 функция зазора d(x) обращается в нуль на круговой границе при x = ±a, и K_G(x) → −∞ согласно асимптотике K_G ∼ −2/u². В характерной точке u = 0.1 (то есть x = 0.9) формула раздела 9.3 даёт K_G ≈ −200 в единицах a⁻². При u = 0.5 получаем K_G ≈ −8, при u = 1 (центр носителя) — K_G ≈ −2. Все значения отрицательны и монотонно растут по модулю при приближении к границе.

Конфигурация Б (a = 1, K = 1, h₁ = 0, h = 0.2). В режиме h > 0 круговая граница смещена внутрь, и d(x) > h_min > 0 на компактной части носителя. Гауссова кривизна ограничена. В точке максимума (вершина базового полукружия при x = 0… однако при h₁ = 0 в этой точке имеется изолированная особенность на оси) и в характерных точках вдали от особенности K_G имеет порядок −0.5 ÷ −2 в единицах a⁻².

Конфигурация В (a = 1, K = 1.5, h₁ = −0.4, h = 0). В точке кругового ребра регрессии x* = h₁/2 = −0.2 угол θ(h₁) вычисляется по формулам раздела 9.5. Численно: y_L(−0.2) = y_R(−0.2) ≈ 1.5 · √(1 − ((−0.2 + 1)/1)²) = 1.5 · √(1 − 0.64) = 1.5 · 0.6 = 0.9; производные y_L′(−0.2) ≈ −1.5 · 0.8 / (1 · 0.9) ≈ −1.333; y_R′(−0.2) ≈ +1.333 по симметрии. Угол θ = arctan(1.333) − arctan(−1.333) ≈ 53.1° + 53.1° = 106.2°. Дополнительный угол излома π − θ ≈ 73.8°, что даёт значительный вклад в интегральную кривизну через ребро.

Приведённые численные значения служат для качественной иллюстрации; точные расчёты для нужных приложений требуют интегрирования по сетке с контролем сходимости.

9.10. Итоги главы

В настоящей главе проведён полный дифференциально-геометрический анализ семейства псевдоэллипсоидов Ω_n. Установлены:

– классическая формула гауссовой кривизны K_G(x) = − ψ″(x) / (ψ(x) · (1 + ψ′(x)²)²) для гладкой части поверхности вращения;

– отрицательность K_G на всей гладкой части генератрисы базового псевдоэллипсоида (отсутствие параболических линий);

– асимптотика K_G(u) ∼ −2/u² при подходе к круговой границе носителя в режиме h = 0, с конечностью интеграла |K_G| dA по компактным окрестностям границы;

– описание изолированной особенности на оси симметрии в режиме h₁ = 0 как точки возврата генератрисы;

– описание кругового ребра регрессии в режиме h₁ < 0 через угол излома θ(h₁) и его поведение в предельных случаях;

– полная систематика особенностей по комбинациям режимов (h₁, h);

– связь с теоремой Гаусса–Бонне и оценка эйлеровой характеристики χ(Ω_n) ≤ 2^{n−1};

– отсутствие параболических линий на семействе Ω_n;

– иллюстративные численные значения K_G в характерных точках для трёх конфигураций.

8.1. Положение главы и постановка задачи

Оператор Merge является ключевым элементом конструктивной схемы псевдоэллипсоидов высших порядков. В главах 4–6 показано, что итерационная схема

I_{k+1}(x) = Merge(C_{R_k}(I_k(x))), k = 2, 3, …, n−1,

порождает всё семейство Ω_n. На каждом шаге оператор смещения–отражения C_{R_k} применяется к текущему интервальному состоянию I_k(x) и удваивает число формальных компонент. Однако результат C_{R_k}(I_k(x)) не является каноническим объектом: соседние компоненты могут пересекаться, соприкасаться или содержать одна другую. Без нормализации последующие операции теряют однозначность, а число формальных компонент растёт экспоненциально без отражения реальной геометрии.

Цель настоящей главы — формализовать оператор Merge как нормализующее отображение на множестве конечных объединений замкнутых интервалов в [0, +∞), доказать его корректность (Теорема 8.1) и установить его базовые алгебраические свойства: идемпотентность, монотонность относительно вложения и совместимость с объединением (Предложение 8.2). Дополнительно устанавливается единственность канонического представления (Следствие 8.3).

Все утверждения формулируются на уровне одномерных интервальных состояний; распространение на пространственное множество Ω_n обеспечивается покоординатным применением Merge по каждому срезу x = const и обсуждается в главе 5.

8.2. Базовые объекты: класс ℐ

Обозначим через ℐ класс всех конечных объединений замкнутых интервалов в [0, +∞):

ℐ = { U ⊂ [0, +∞) : U = ⋃_{j=1}^{N} [αⱼ, βⱼ], N ∈ ℕ, 0 ≤ αⱼ ≤ βⱼ < +∞ }.

Допускаются вырожденные интервалы вида [α, α] (одиночные точки), пересекающиеся пары [αⱼ, βⱼ] ∩ [α_i, β_i] ≠ ∅ при j ≠ i, и любой порядок интервалов в исходном списке. Пустое множество ∅ также относится к ℐ как случай N = 0.

Множество U ∈ ℐ называется представленным в каноническом виде, если выполнены три условия:

(К1) интервалы в списке попарно дизъюнктны: [αⱼ, βⱼ] ∩ [α_i, β_i] = ∅ при j ≠ i;

(К2) интервалы не соприкасаются: βⱼ < α_{j+1} для всех j = 1, …, N−1;

(К3) интервалы упорядочены по возрастанию левого конца: α₁ < α₂ < … < α_N.

Условие (К2) усиливает (К1): даже соприкасающиеся интервалы [α, β] и [β, γ], формально дизъюнктные только в одной точке β, объединяются в один интервал [α, γ]. Это согласовано с тем, что для построения тела вращения Ω_n физически различимыми являются только интервалы, разделённые ненулевым зазором.

Канонический вид однозначен: фиксированное множество точек U ⊂ [0, +∞), являющееся конечным объединением замкнутых интервалов, имеет единственное представление в виде списка ([α₁, β₁], …, [α_N, β_N]), удовлетворяющего (К1)–(К3). Этот факт оформляется как Следствие 7.3.

8.3. Определение оператора Merge

Определение 8.1. Оператор Merge : ℐ → ℐ ставит в соответствие произвольному элементу U ∈ ℐ его каноническое представление, рассматриваемое как множество точек в [0, +∞).

Конструктивно Merge задаётся следующей процедурой. Пусть U = ⋃_{j=1}^{N} [αⱼ, βⱼ] — произвольное представление.

Шаг 1. Упорядочить пары (αⱼ, βⱼ) по возрастанию αⱼ; при равных αⱼ — по возрастанию βⱼ.

Шаг 2. Положить [a₁, b₁] = [α₁, β₁] и для j = 2, …, N выполнить:

если αⱼ ≤ b_{cur}, обновить b_{cur} := max(b_{cur}, βⱼ); иначе зафиксировать текущий интервал [a_{cur}, b_{cur}] в выходной список и начать новый: [a_{cur}, b_{cur}] := [αⱼ, βⱼ].

Шаг 3. Зафиксировать последний интервал в выходной список.

Результирующий список ([a₁, b₁], …, [a_M, b_M]) с M ≤ N удовлетворяет условиям (К1)–(К3) и определяет множество Merge(U) ⊂ [0, +∞) как объединение этих интервалов.

Заметим, что Merge действует на множество точек U, а не на конкретное представление U в виде списка интервалов: два различных представления одного и того же множества дают один и тот же результат. Это позволяет рассматривать Merge как корректно определённую функцию на ℐ.

8.4. Теорема о корректности Merge

Теорема 8.1 (корректность Merge). Оператор Merge : ℐ → ℐ обладает следующими свойствами:

(А) для любого U ∈ ℐ множество Merge(U) совпадает с U как подмножество [0, +∞);

(Б) Merge(U) представлено в каноническом виде (К1)–(К3);

(В) количество компонент M в каноническом представлении Merge(U) удовлетворяет неравенству M ≤ N, где N — число интервалов в исходном представлении U; равенство достигается тогда и только тогда, когда исходное представление уже было каноническим;

(Г) результат Merge(U) не зависит от выбора исходного представления множества U.

Доказательство.

(А) Конструкция Merge не добавляет и не удаляет ни одной точки из U. На каждом шаге процедуры точка x ∈ [0, +∞) принадлежит выходному списку тогда и только тогда, когда она принадлежит хотя бы одному из исходных интервалов [αⱼ, βⱼ]. Действительно, при слиянии αⱼ ≤ b_{cur} новый интервал [a_{cur}, max(b_{cur}, βⱼ)] содержит и старый [a_{cur}, b_{cur}], и новый [αⱼ, βⱼ] полностью, поскольку αⱼ ≥ a_{cur} (по упорядоченности) и αⱼ ≤ b_{cur} (по условию слияния). При несовпадении αⱼ > b_{cur} новый интервал [αⱼ, βⱼ] добавляется в выходной список как отдельный, без изменения предыдущего. Следовательно, Merge(U) и U как множества точек совпадают.

(Б) Условие (К3) выполнено по построению: интервалы добавляются в выходной список строго в порядке возрастания левого конца. Условие (К2), а с ним и (К1), выполнено по правилу слияния: новый интервал [αⱼ, βⱼ] открывается только при αⱼ > b_{cur}, то есть всегда строго после правого конца предыдущего. Следовательно, b_{cur} < αⱼ для всех соседних пар выходного списка, что есть в точности (К2).

(В) Каждое выполнение шага слияния (αⱼ ≤ b_{cur}) уменьшает число компонент на единицу по сравнению с исходным числом. Если исходное представление каноническое, то для всех j ≥ 2 выполняется α_{j} > b_{j−1}, слияний не происходит, и M = N. Если хотя бы для одной пары соседних интервалов нарушено (К2) или (К1), происходит хотя бы одно слияние, и M < N.

(Г) Пусть U = ⋃{j=1}^{N} [αⱼ, βⱼ] и U = ⋃{i=1}^{N’} [α’_i, β’_i] — два различных представления одного и того же множества точек U. Применим к каждому из них процедуру Merge и обозначим результаты Merge(U) и Merge’(U) соответственно. Оба удовлетворяют (К1)–(К3) и совпадают с U как множества точек. Покажем, что в этом случае они имеют одинаковое число компонент и одинаковые интервалы.

Действительно, замкнутое множество U ⊂ [0, +∞), являющееся конечным объединением замкнутых интервалов, распадается единственным образом на максимальные замкнутые связные компоненты. Каждая такая компонента есть замкнутый интервал. Их число конечно. Условия (К1)–(К3) означают в точности, что список интервалов канонического представления есть упорядоченный список максимальных связных компонент U. Этот список однозначно определяется самим множеством U и не зависит от представления.

Следовательно, Merge(U) = Merge’(U) как упорядоченные списки интервалов, в частности как множества точек. ∎

8.5. Алгебраические свойства Merge

Предложение 8.2. Оператор Merge обладает следующими алгебраическими свойствами:

(а) идемпотентность: Merge(Merge(U)) = Merge(U) для любого U ∈ ℐ;

(б) монотонность: если U ⊆ V, то Merge(U) ⊆ Merge(V);

(в) совместимость с объединением: Merge(U ∪ V) = Merge(Merge(U) ∪ Merge(V)) для любых U, V ∈ ℐ.

Доказательство.

(а) По пункту (А) Теоремы 8.1 Merge(U) совпадает с U как множество точек, и по пункту (Б) представлено в каноническом виде. Применение Merge к каноническому представлению по пункту (В) не производит ни одного слияния и возвращает тот же список интервалов. Следовательно, Merge(Merge(U)) = Merge(U).

(б) Применение Merge не меняет точечного состава множества (пункт (А) Теоремы 8.1). Поэтому Merge(U) = U и Merge(V) = V как множества точек, и из U ⊆ V непосредственно следует Merge(U) ⊆ Merge(V).

(в) Поскольку Merge не меняет точечного состава, имеем Merge(U) ∪ Merge(V) = U ∪ V как множества точек. Применение Merge к обеим сторонам даёт Merge(Merge(U) ∪ Merge(V)) = Merge(U ∪ V). ∎

Заметим, что свойства (а)–(в) являются непосредственными следствиями определения и того, что Merge есть оператор канонизации, а не самостоятельной нетривиальной алгебраической структуры. Они оформлены как Предложение, а не Теорема, чтобы отразить их выводный характер.

8.6. Единственность канонического представления

Следствие 8.3 (единственность канонического представления). Для любого U ∈ ℐ существует ровно одно представление в виде списка ([α₁, β₁], …, [α_M, β_M]), удовлетворяющее условиям (К1)–(К3). Это представление совпадает с упорядоченным списком максимальных замкнутых связных компонент множества U.

Доказательство. Существование установлено в пункте (Б) Теоремы 8.1: процедура Merge строит такое представление по любому исходному. Единственность установлена в пункте (Г): любое каноническое представление есть упорядоченный список максимальных связных компонент U, а такой список определяется самим множеством U однозначно. ∎

Это следствие имеет конструктивное значение. Оно гарантирует, что в итерационной схеме главы 5 после каждого применения Merge интервальное состояние I_k(x) представлено в фиксированной форме, не зависящей от истории вычислений. Это позволяет однозначно сравнивать результаты, полученные при разных порядках обхода ветвей C_{R_k}, и обеспечивает воспроизводимость численных реализаций.

8.7. Совместимость Merge с оператором C_R

Помимо алгебраических свойств самого оператора Merge, для итерационной схемы существенна его согласованность с оператором смещения–отражения C_R, введённым в главе 4. Эта согласованность устанавливается следующим утверждением.

Предложение 8.4 (совместимость с C_R). Для любого U ∈ ℐ и любого R > 0 выполняется:

Merge(C_R(U)) = Merge(C_R(Merge(U))).

Доказательство. Оператор C_R линеен в смысле объединения: для любого представления U = ⋃ⱼ [αⱼ, βⱼ] имеем

C_R(U) = ⋃ⱼ C_R([αⱼ, βⱼ]),

где каждое слагаемое C_R([αⱼ, βⱼ]) — объединение не более чем двух замкнутых интервалов. Это означает, что C_R(U) ∈ ℐ и точечный состав C_R(U) определяется точечным составом U. Поскольку Merge не меняет точечного состава (пункт (А) Теоремы 8.1), точечный состав C_R(Merge(U)) совпадает с точечным составом C_R(U). Применение Merge к обеим сторонам даёт требуемое равенство. ∎

Следствие 8.4 имеет конструктивное значение: оно показывает, что в итерационной схеме можно эквивалентно выполнять Merge до или после применения C_R. На практике Merge применяется после C_R, поскольку именно тогда возникают потенциальные пересечения и соприкосновения, требующие канонизации. Однако теоретически результат итерации не зависит от того, проводится ли промежуточная канонизация на каждом шаге, или Merge применяется только в конце последовательности.

8.8. Граничные случаи

Для полноты рассмотрим поведение Merge на граничных конфигурациях.

Случай пустого множества. Если U = ∅, процедура Merge возвращает пустой список, и Merge(∅) = ∅. Все свойства (А)–(Г) Теоремы 8.1 выполнены тривиально.

Случай одиночного интервала. Если U = [α, β] с α ≤ β, исходное представление уже каноническое, и Merge(U) = U. Свойство (В) даёт M = N = 1.

Случай вырожденного интервала. Если U содержит вырожденный интервал [α, α] (одиночную точку), процедура Merge обрабатывает его так же, как невырожденный: при αⱼ ≤ b_{cur} точка поглощается текущим интервалом; при αⱼ > b_{cur} становится новой компонентой. Это согласовано с тем, что в схеме главы 5 одиночные точки возникают как граничные случаи (например, при d(x) = 0 в окрестности круговых рёбер регрессии).

Случай соприкасающихся интервалов. Если в исходном представлении присутствуют интервалы [α, β] и [β, γ] с общей точкой β, процедура Merge сливает их в один интервал [α, γ]. Условие (К2) (строгое неравенство β < α_{j+1}) исключает соприкосновение в каноническом представлении. Это согласовано с физическим смыслом: интервалы, разделённые нулевым зазором, рассматриваются как одна полость.

Случай вложенных интервалов. Если [αⱼ, βⱼ] ⊆ [α_i, β_i] при j ≠ i, процедура Merge поглощает вложенный интервал внешним. Это автоматически обеспечивается правилом обновления b_{cur} := max(b_{cur}, βⱼ).

Все перечисленные граничные случаи корректно обрабатываются процедурой и не требуют специальных оговорок в итерационной схеме.

8.9. Вычислительная сложность

Процедура Merge, описанная в разделе 8.3, состоит из сортировки N исходных пар (αⱼ, βⱼ) и линейного прохода по упорядоченному списку. Сортировка выполняется за O(N log N), линейный проход — за O(N). Общая сложность одного применения Merge:

T_Merge(N) = O(N log N).

В итерационной схеме главы 5 на k-м шаге число формальных компонент N_k(x) ≤ 2^{k−2}. Полная сложность построения интервального состояния I_n(x) для одного фиксированного x составляет:

T_total(n, x) = O(2^{n−2} · (n−2)) = O(n · 2^n).

При типичных значениях n ≤ 5, используемых в иллюстрациях и расчётах объёмов, это даёт от 4 до 80 элементарных операций на одно сечение, что практически незначимо. При больших n (n ≥ 8) экспоненциальный рост числа формальных ветвей становится заметным, и реализация требует оптимизаций: раннего обнаружения слияний, отсечения вырожденных компонент, рекурсивного применения Merge на промежуточных шагах. Эти вопросы относятся к вычислительной реализации и обсуждаются в приложении Б.

8.10. Связь с теорией множеств и морфологическим анализом

Оператор Merge как канонизация конечного объединения замкнутых интервалов в одномерной числовой прямой относится к классической области вычислительной геометрии и математической морфологии. В терминах общей теории множеств он эквивалентен взятию объединения и последующему разложению на максимальные связные компоненты — операции, корректно определённой для любого замкнутого множества с конечным числом компонент.

В терминах математической морфологии Серра оператор Merge можно рассматривать как частный случай канонической нормализации замкнутого множества: всякое замкнутое множество в ℝⁿ с конечным числом компонент имеет однозначное представление в виде упорядоченного объединения связных компонент. Для одномерного случая такое представление принимает особенно простую форму — последовательность непересекающихся замкнутых интервалов, упорядоченных по возрастанию.

Таким образом, оператор Merge в настоящей теории не вводит новой математической конструкции, а адаптирует известную операцию канонизации к специфике итерационной схемы I_{k+1} = Merge(C_{R_k}(I_k)). Его роль — гарантировать, что после каждого применения оператора смещения–отражения C_R результирующее интервальное состояние представлено в фиксированной, воспроизводимой и теоретически однозначной форме.

8.11. Итоги главы

В настоящей главе формально определён оператор Merge как канонизирующее отображение на классе ℐ конечных объединений замкнутых интервалов в [0, +∞). Доказаны:

– Теорема 8.1 о корректности Merge: сохранение точечного состава, существование и единственность канонического представления, монотонное убывание числа компонент;

– Предложение 8.2 об алгебраических свойствах Merge: идемпотентность, монотонность относительно вложения, совместимость с объединением;

– Следствие 8.3 о единственности канонического представления;

– Предложение 8.4 о совместимости Merge с оператором смещения–отражения C_R, обеспечивающее корректность итерационной схемы независимо от порядка промежуточных канонизаций.

Установленные свойства гарантируют, что итерационная схема I_{k+1}(x) = Merge(C_{R_k}(I_k(x))), введённая в главе 5, корректно работает на всём пространстве параметров и для любого конечного числа шагов n − 2. В частности, она однозначно определяет интервальное состояние I_n(x) как функцию исходных параметров (a, K, h₁, h) и списка offsets 𝒪 = (R₁, …, R_{n−2}), без зависимости от порядка обхода формальных ветвей C_R или от выбора промежуточных представлений.

До настоящего момента псевдоэллипсоид высшего порядка рассматривался как одиночная рекурсивная внутренняя область Ωₙ. Такая область уже содержит seed-геометрию, интервальную рекурсию, Merge-канонизацию, формальные и эффективные псевдоповерхности, а также собственный морфологический паспорт. Однако для конструктивной геометрии Геометрической Волновой Инженерии важен не только одиночный объект, но и конечная система одинаковых объектов, расположенных вдоль одной оси.

Рядная система нужна для того, чтобы описывать переход от одной полости к цепочке полостей, от раздельных экземпляров к касающимся, от касания к перекрытию и от набора независимых тел к единому составному объёму. При этом порядок n остаётся внутренней характеристикой одного экземпляра, а параметры m и h_row отвечают только за внешнюю осевую компоновку.

Это разделение принципиально. Если смешать n и m, теория потеряет ясность: рекурсия станет зависеть от расположения копий, а рядность будет ошибочно восприниматься как новый порядок. В канонической постановке сначала строится Ωₙ, затем из конечного числа её переносов строится Ωₙ,ₘ.

7.1. Определение рядной системы псевдоэллипсоидов

Пусть задан одиночный псевдоэллипсоид высшего порядка Ωₙ и конечное число экземпляров m≥1. Вводится рядный параметр h_row, который измеряет осевой зазор, касание или перекрытие между соседними копиями. Шаг между соседними экземплярами определяется формулой

step = W + h_row.

Осевые сдвиги копий задаются как

Δⱼ = −j(W + h_row),     j = 0,1,…,m−1.

Тогда рядная система определяется как конечное объединение осевых переносов одиночной области:

Ωₙ,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} (Ωₙ + Δⱼ e_ξ).

Здесь e_ξ — единичное направление общей оси. Эта формула является основной формулой главы. Она показывает, что рядная система не создаёт новый seed-профиль и не меняет рекурсивный оператор. Она только размещает уже построенную область Ωₙ в нескольких осевых положениях и затем рассматривает их объединение как один геометрический объект.

В интервальном языке рядная система имеет вид

Iₙ,ₘ^row(ξ) = Merge( ⋃_{j=0}^{m−1} Iₙ(ξ − Δⱼ) ).

Эта запись особенно важна: даже если копии были построены отдельно, в перекрывающихся осевых областях их радиальные интервалы должны быть объединены и канонизированы. Поэтому Ωₙ,ₘ является не списком рисунков, а единым множеством, определённым через интервальные состояния.

7.2. Три режима параметра h_row

Параметр h_row задаёт три базовых режима рядной компоновки. При h_row>0 между соседними экземплярами существует положительный осевой зазор. В таком режиме рядная система является разнесённой: копии сохраняют индивидуальность, а их объединение состоит из нескольких отделённых осевых блоков, если каждый отдельный экземпляр не имеет дополнительных дальних пересечений.

При h_row=0 соседние экземпляры касаются по предельным осевым сечениям. Это критический режим между разнесением и перекрытием. Он должен рассматриваться как самостоятельный морфологический предел, потому что в замкнутой геометрии касание может менять компонентность объединения, но ещё не создаёт области положительного перекрытия.

При h_row<0 осевые опоры соседних экземпляров перекрываются. В этом случае ряд уже нельзя описывать как простую сумму независимых копий. На общих участках оси интервалы от разных экземпляров поступают в один и тот же Merge-процесс. Поэтому перекрывающийся ряд может образовывать единую составную область, но это зависит не только от знака h_row, а и от реального пересечения радиальных интервалов.

Рис. 7.1. Три базовых режима параметра h_row: разнесение, касание и перекрытие. Рядный параметр управляет внешней осевой компоновкой, но не меняет внутренний порядок n отдельного экземпляра.

7.3. Интервальное объединение и Merge между копиями

При рядной сборке Merge действует не только внутри одного экземпляра, но и между всеми копиями, которые дают интервалы в одной глобальной осевой точке. Это означает, что формальное происхождение интервала от первой, второй или третьей копии не является окончательным критерием границы. Окончательным объектом является объединённое интервальное состояние после Merge.

Если интервалы от соседних копий пересекаются или касаются, они образуют один эффективный радиальный интервал. Если между ними сохраняется положительный радиальный зазор, они остаются разными компонентами. Такая логика полностью соответствует общему смыслу Merge: удаляется только дублирование общей части объёма, но не уничтожаются реальные внутренние зоны и не дорисовываются искусственные соединительные поверхности.

Из этого следует важный практический вывод: в перекрывающемся ряду нельзя заранее объявлять всю систему связной только по знаку h_row<0. Перекрытие осевых опор является необходимым условием взаимодействия копий, но реальная связность определяется пересечением пространственных областей или, в интервальном языке, пересечением соответствующих радиальных множеств на общей оси.

Рис. 7.2. Рядное интервальное состояние при фиксированной глобальной осевой координате. Интервалы, пришедшие от разных копий, после Merge дают эффективное радиальное состояние рядной системы.

7.4. Каноническая область значений h_row

Для стандартной рядной компоновки естественно требовать положительного шага:

step = W + h_row > 0.

Это условие означает, что соседние копии сохраняют упорядоченное размещение вдоль оси и не совпадают полностью по центрам. В такой канонической области параметров

h_row > −W.

Случай h_row=−W означает совпадение центров соседних копий. Тогда рядность теряет обычный смысл осевой цепочки и превращается в кратное наложение одного и того же экземпляра. При h_row<−W возникает неканоническая запись с изменением порядка центров. Такие случаи можно рассматривать как формальные предельные или переиндексируемые, но они не являются основным режимом рядной геометрии первого тома.

Таким образом, для теории достаточно выделить три содержательных режима в канонической области h_row>−W: разнесение, касание и перекрытие.

7.5. Горизонтальный рядный эталон

Для горизонтального эталона K=0.5, n=4, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35 расчётная глобальная осевая область имеет диапазон примерно от −4.30 до 1.00. Максимальное число Merge-компонент в сечении равно 2. Объём одиночного экземпляра по интегралу площади сечения равен V_single≈8.629289, а объём ряда после глобального Merge равен V_row≈25.815689.

Для сравнения, простое утроение одиночного объёма даёт 3V_single≈25.887866. Разница ΔV≈0.072177 является объёмным дефектом перекрытия: общая часть ряда при h_row<0 не должна считаться трижды.

Рис. 7.3. Горизонтальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при K=0.5, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35. Вертикальные пунктирные линии показывают границы осевых опор копий.

Рисунок 7.4. 3D-вид рядной конфигурации при h_row<0. Вид показывает пространственную связность/перекрытие.

7.6. Вертикальный рядный эталон

Для вертикального эталона K=1.5 при тех же offsets, m и h_row расчёт даёт больший радиальный масштаб и больший объём. Объём одиночного экземпляра равен V_single≈24.887439, а объём ряда при h_row=−0.35 равен V_row≈74.445797. Простое утроение одиночного объёма даёт 3V_single≈74.662317, поэтому объёмный дефект перекрытия составляет ΔV≈0.216521.

Вертикальный тип демонстрирует ту же рядную логику, что и горизонтальный: h_row отвечает за осевое положение копий, а не за изменение внутреннего порядка и не за изменение seed-формы. Но из-за другой радиальной функции d(ξ) интегральные величины оказываются существенно другими.

Рис. 7.5. Вертикальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при K=1.5, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35. Рекурсивный аппарат тот же, но радиальный масштаб и объём больше.

Рисунок 7.6. Вертикальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при h_row=-0.35, m=3. 2D-сечение построено скриптом; фокусы показаны только на 2D.

Рисунок 7.7. 3D-вид вертикального рядного псевдоэллипсоида при h_row=-0.35. На 3D фокусы не наносятся.

7.7. Объёмный дефект перекрытия

Если h_row≥0 и копии не имеют общего внутреннего объёма, то объём ряда равен сумме объёмов копий. Если h_row<0, опоры перекрываются, и общий объём ряда обычно меньше простой суммы. Для контроля вводится величина

ΔVₙ,ₘ = mVₙ − Vₙ,ₘ.

В контрольном расчёте при h_row=−0.35 получены значения ΔV≈0.072177 для K=0.5 и ΔV≈0.216521 для K=1.5. Для h_row=0.35 и h_row=0 объёмный дефект практически равен нулю в пределах численной точности, что соответствует отсутствию объёмного перекрытия.

Рис. 7.8. Объёмный дефект перекрытия ΔV=3V_single−V_row. Для отрицательного h_row рядная система имеет общий перекрывающийся объём, который после Merge считается один раз.

7.8. Теорема об ограниченности рядной системы

Теорема 7.1. Пусть одиночная область Ωₙ имеет конечную осевую опору [ξ_min,ξ_max] и конечную радиальную верхнюю границу Mₙ. Тогда при конечных m и конечном h_row рядная область Ωₙ,ₘ ограничена.

Доказательство.

Каждая копия имеет осевую опору [ξ_min+Δ_j,ξ_max+Δ_j], где Δ_j=−j(W+h_row). Так как j принимает только конечное число значений от 0 до m−1, объединение всех осевых опор является конечным объединением ограниченных интервалов. Радиальные интервалы не изменяются при осевом переносе, поэтому их верхняя граница не превосходит Mₙ. Следовательно, Ωₙ,ₘ ограничена по оси и по радиусу. Теорема доказана.

Эта теорема не утверждает связность. Связность должна проверяться отдельно через граф пересечений или через интервальное состояние Iₙ,ₘ(ξ).

7.9. Выводы главы

Глава уточняет рядную компоновку с учётом несимметричной осевой опоры. Шаг между копиями определяется как step=W+h_row, где W=ξ_max−ξ_min — реальная ширина активной опоры одиночного экземпляра. Поэтому формула корректна не только для h₁=0, но и для режимов h₁>0 и h₁<0.

Рядная система определена как Ωₙ,ₘ=⋃(Ωₙ+Δ_j e_ξ), а её интервальное состояние — как глобальный Merge всех перенесённых состояний Iₙ(ξ−Δ_j). Это отделяет рядность m от внутреннего порядка n и запрещает искусственное соединение пустого пространства между копиями.

Таким образом, глава переводит рядные псевдоэллипсоиды из уровня визуального повторения формы в уровень строгой геометрической операции над областями. Это подготавливает дальнейшее использование рядности в количественных функционалах, масштабной инвариантности и будущей волновой верификации.

6.1. Порядок как длина рекурсивной цепи

В вычислительной и математической постановке данной книги второй порядок является начальным состоянием рекурсивной системы. Он задаётся одним радиальным интервалом при каждой осевой координате x. Этот интервал имеет вид:

I₂(x) = {[0, d(x)]}.

Здесь d(x) — радиальная функция, построенная из активной эллиптической образующей. Она уже содержит всю информацию о параметрах a, K, h₁ и h, но ещё не содержит рекурсивных смещений. Поэтому второй порядок является не «нулевым рисунком», а исходным внутренним объёмом, из которого далее строятся все последующие порядки.

Каждый новый порядок добавляет ровно один рекурсивный offset. Если список рекурсивных смещений пуст, то сохраняется второй порядок. Если задан один offset R₁, получается третий порядок. Если заданы два смещения R₁ и R₂, получается четвёртый порядок. В общем случае для конечного списка

offsets = (R₁, R₂, …, Rₙ₋₂)

порядок определяется простой, но принципиально важной формулой:

n = len(offsets) + 2.

Эта формула задаёт дисциплину всей книги. Порядок n не равен числу видимых оболочек, не равен числу компонент на рисунке и не равен числу рядных экземпляров. Он означает только длину внутренней рекурсивной цепи, применённой к базовому интервалу второго порядка. Поэтому порядок нельзя смешивать ни с параметром K, который задаёт тип базовой эллиптической образующей, ни с параметрами h₁ и h, которые относятся к исходной геометрии, ни с будущей рядностью m, которая размещает уже построенный объект вдоль общей оси.

В научном смысле такое определение делает высшие псевдоэллипсоиды воспроизводимыми. Любой исследователь, получив набор a, K, h₁, h и offsets, может восстановить тот же самый конечный порядок, потому что процедура не содержит ручного выбора ветвей и не допускает художественного дорисовывания.

Рисунок 6.1. Общий рекурсивный закон высших псевдоэллипсоидов: второй порядок задаёт начальный интервал, а каждый offset добавляет один новый уровень рекурсии.

6.2. Рекурсивный закон интервалов

Пусть на некотором шаге k уже построено конечное семейство радиальных интервалов. При фиксированной осевой координате x каждый такой интервал записывается как [lo_j(x), hi_j(x)]. Следующий offset R_k действует не на одну линию, а на весь интервал. Именно это отличает объёмную теорию от чисто ветвевой записи.

Один исходный интервал порождает две формальные интервальные ветви. Первая является разностной, вторая — суммовой:

[max(R_k − hi_j(x), 0), max(R_k − lo_j(x), 0)],

[R_k + lo_j(x), R_k + hi_j(x)].

Обрезание отрицательных радиусов до нуля является обязательным. Радиальная координата физического объёма не может быть отрицательной. Поэтому выражение max(…,0) — не численная заплатка, а геометрическое условие допустимости внутренней области.

После применения этого правила ко всем интервалам возникает формальное семейство удвоенного размера. Однако это ещё не окончательная геометрия. Формальные интервалы могут пересекаться, касаться или полностью накладываться друг на друга. В таком случае они описывают одни и те же точки пространства и должны быть объединены. Поэтому полный шаг рекурсии имеет вид:

Iₖ₊₁(x) = Merge( ⋃ C_{R_k}( Iₖ(x) ) ).

Оператор Merge в этой формуле не создаёт новых соединений. Он не закрывает пустые зазоры и не заменяет систему внешней огибающей. Его задача противоположна: удалить только дублирование тех частей, которые уже совпали или пересеклись. Если между двумя интервалами есть пустой радиальный промежуток, он сохраняется как пустой. Если интервалы касаются, они превращаются в одну замкнутую компоненту. Если пересекаются, они объединяются в общий радиальный интервал.

Таким образом, рекурсивный закон высших псевдоэллипсоидов имеет две стороны. Первая сторона — алгебраическая: формальные ветви удваиваются на каждом шаге. Вторая сторона — геометрическая: реальный внутренний объём получается только после Merge. Потеря любой из этих сторон делает описание неполным. Только формальные ветви дают красивое дерево, но не дают расчётной области. Только Merge без истории ветвей скрывает происхождение зон. Поэтому в настоящей теории они должны рассматриваться совместно.

6.3. Формальное число ветвей и реальное число компонент

Формальное число ветвей n-го порядка равно:

Nₙ = 2ⁿ⁻².

Эта формула полезна, потому что показывает конструктивную сложность порядка. Второй порядок имеет одну формальную ветвь, третий — две, четвёртый — четыре, пятый — восемь. Но важно подчеркнуть: Nₙ не является числом физических полостей, числом видимых радиальных зон и числом поверхностей, которые обязательно должны остаться после Merge.

Реальное число компонент зависит от значений d(x), K, h₁, h и всей последовательности offsets. В одной осевой точке формальные ветви могут быть хорошо разделены, в другой — пересекаться, а в третьей — сливаться в одну радиальную область. Поэтому компонентность высшего псевдоэллипсоида является не только функцией n, но и функцией геометрических параметров. Именно это делает высшие порядки содержательными: их сложность не механически равна числу ветвей, а определяется взаимодействием рекурсивного закона с конкретной эллиптической базой.

Для будущей волновой постановки это различие имеет принципиальное значение. Волновое поле будет распространяться не в формальном дереве, а в реальном внутреннем объёме. Если две формальные ветви после Merge стали одной компонентой, то для поля это одна область, а не две. Если между компонентами остался зазор, то это действительно разные радиальные зоны, и перенос между ними должен определяться граничной и топологической структурой задачи, а не формальной нумерацией ветвей.

Рисунок 6.2 показывает характерный эффект: формальное число ветвей растёт экспоненциально, тогда как максимальное число Merge-компонент растёт значительно медленнее и зависит от базового типа K. Это не недостаток теории, а её важная геометрическая особенность. Рекурсия создаёт потенциальное ветвление, а Merge переводит его в физически используемую область.

Рисунок 6.2. Сравнение формального числа ветвей Nₙ и максимального числа реальных Merge-компонент для горизонтального и вертикального типов при демонстрационных offsets.

6.4. Оценка радиальной ограниченности

Для конечного порядка все радиальные интервалы остаются ограниченными. Это важное математическое свойство, потому что без него объект не мог бы быть использован как конечная расчётная область. Пусть

M₂ = maxₓ d(x).

После первого offset верхняя граница любого формального интервала не может превысить M₂ + R₁. После второго offset она не может превысить M₂ + R₁ + R₂. Продолжая рассуждение по индукции, получаем общую оценку:

Mₙ ≤ M₂ + R₁ + R₂ + … + Rₙ₋₂.

Эта оценка является верхней безопасной границей, а не точным значением максимального радиуса. В реальном объекте часть ветвей может быть обрезана у нуля, часть может слиться через Merge, а некоторые участки могут вообще не достигать предельного уровня. Однако для доказательства конечности области достаточно именно такой оценки.

Теорема 6.1. Для любых конечных параметров a > 0, K > 0, h₁, h и конечного списка offsets все формальные интервалы n-го порядка удовлетворяют неравенству:

0 ≤ lo(x) ≤ hi(x) ≤ M₂ + ΣR_k.

Доказательство. Для второго порядка утверждение верно по определению: 0 ≤ d(x) ≤ M₂. Предположим, что для некоторого шага верхняя граница любого интервала не превосходит M. Тогда разностная ветвь имеет верхнюю границу не больше R_k, потому что max(R_k − lo, 0) ≤ R_k. Суммовая ветвь имеет верхнюю границу не больше R_k + M. Следовательно, после очередного шага новая верхняя граница не превосходит M + R_k. Индукция по числу offsets даёт требуемую оценку.

Следствие этой теоремы состоит в том, что любой конечный псевдоэллипсоид высшего порядка задаёт конечный внутренний объём вращения. Это позволяет строить 2D-сечения, 3D-поверхности границы, вычислять площади сечений и передавать область в последующие численные методы без риска бесконечного радиального роста.

6.5. Пятый порядок как демонстрация общего закона

Чтобы показать общий закон без чрезмерного усложнения рисунков, в качестве демонстрационного примера выбран пятый порядок. Он получается после трёх рекурсивных offsets и имеет восемь формальных ветвей. Это уже достаточно сложная структура, чтобы увидеть отличие формального дерева от реального объёма после Merge, но ещё достаточно читаемая для научного рисунка.

Для горизонтального типа далее используется пример K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (0.7, 1.8, 3.4). Для вертикального типа используется K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (2.0, 5.0, 9.0). Эти наборы не являются оптимальными в физическом смысле. Они выбраны как демонстрационные параметры, позволяющие показать рост порядка без специальной подгонки под совпадения ветвей.

Пятый порядок важен именно как переходный пример между частными главами и общей теорией. Третий порядок показывает первый сдвиг. Четвёртый порядок показывает первое настоящее ветвление второго уровня. Пятый порядок уже демонстрирует, что дальнейшее повышение n не требует новой идеи: повторяется тот же самый оператор C_R и тот же самый Merge. Поэтому после пятого порядка можно переходить к произвольному конечному n.

На рисунках 6.3 и 6.4 показано, что рост порядка нельзя понимать как простое добавление новых внешних оболочек. Внутри каждого порядка меняется расположение радиальных зон, часть формальных ветвей становится внутренними границами, часть объединяется, а часть остаётся визуально отделённой. Именно такая картина и должна называться псевдоэллипсоидом высшего порядка.

Рисунок 6.3. Горизонтальный тип K = 0.5: рост порядка от 2-го до 5-го при offsets = (0.7, 1.8, 3.4). Показаны реальные границы после Merge.

Рисунок 6.4. Вертикальный тип K = 1.5: рост порядка от 2-го до 5-го при offsets = (2.0, 5.0, 9.0). Рекурсивный закон тот же, но базовая эллиптическая геометрия меняет масштаб и морфологию.

6.6. Горизонтальный тип пятого порядка

Горизонтальный псевдоэллипсоид пятого порядка наследует фокальную ориентацию базовой эллиптической образующей при K < 1. Его исходная форма вытянута вдоль осевой координаты, а радиальная функция d(x) имеет относительно малый базовый масштаб. После трёх рекурсивных offsets эта базовая вытянутость не исчезает, но становится только первым уровнем более сложной радиальной архитектуры.

В 2D-сечении горизонтального пятого порядка видны реальные зоны после Merge. Важно, что фокусы, если они отображаются на плоском рисунке, относятся к исходным порождающим эллиптическим границам. Merge не создаёт новых эллиптических фокусов. Он лишь объединяет радиальные интервалы, полученные из уже существующих порождающих ветвей. Поэтому фокальная разметка должна трактоваться как геометрическая память базовой образующей, а не как автоматическое доказательство будущей волновой фокусировки.

Горизонтальный тип удобен для демонстрации того, как сравнительно компактная поперечная база может породить многослойный внутренний объём при умеренных offsets. Здесь особенно хорошо видно, что увеличение n добавляет не произвольные детали, а структурированные радиальные зоны, каждая из которых имеет определённое происхождение в рекурсивной цепи.

Рисунок 6.5. Горизонтальный тип, пятый порядок, K = 0.5, offsets = (0.7, 1.8, 3.4), 2D-сечение. Все видимые области являются результатом интервальной рекурсии и Merge.

3D-визуализация горизонтального пятого порядка показывает границы общего объёма вращения. Яркое меридиональное сечение используется как контроль: оно показывает, что внутренние зоны не потеряны при переходе от двумерной интервальной схемы к пространственному отображению. При этом 3D-рисунок не следует понимать как готовую конечно-элементную сетку. Это геометрическая визуализация поверхности границы, пригодная для последующей постановки физической задачи.

Рисунок 6.6. Горизонтальный тип, пятый порядок, 3D-поверхность границы общего внутреннего объёма. Меридиональное сечение наложено для контроля внутренней структуры.

6.7. Вертикальный тип пятого порядка

Вертикальный псевдоэллипсоид пятого порядка строится тем же рекурсивным законом, но на другой базовой эллиптической геометрии. При K > 1 исходные эллиптические четверти вытянуты по поперечной координате. Поэтому уже второй порядок имеет более крупный радиальный масштаб, а рекурсивные offsets должны выбираться в другой численной шкале, чтобы рисунок оставался читаемым и не превращался в искусственно сжатую структуру.

Именно вертикальный тип хорошо подчёркивает, что параметр K не является рекурсивным offset. Он не увеличивает порядок и не меняет закон C_R. Он изменяет исходную функцию d(x), а значит меняет тот материал, к которому применяется рекурсивная цепь. Один и тот же список операций на разных базовых d(x) даёт разные морфологии. Это различие является не ошибкой визуализации, а фундаментальным свойством теории псевдоэллипсоидов.

На 2D-сечении вертикального пятого порядка обычно заметнее поперечная разнесённость радиальных зон. В зависимости от выбранных offsets Merge может сохранять несколько самостоятельных компонент или объединять их в более крупные интервальные области. Поэтому вертикальный пятый порядок полезен как контрольная противоположность горизонтальному: он показывает, что общий закон действительно универсален внутри псевдоэллипсоидной теории, но результат остаётся чувствительным к типу базовой образующей.

Рисунок 6.7. Вертикальный тип, пятый порядок, K = 1.5, offsets = (2.0, 5.0, 9.0), 2D-сечение. Радиальная шкала больше, чем у горизонтального типа, но рекурсивная логика та же.

3D-представление вертикального пятого порядка демонстрирует пространственную форму общего объёма. Как и в горизонтальном случае, поверхность не является набором независимых оболочек. Она является границей объединённой области, полученной после Merge. Поэтому внутренние компоненты, если они существуют как реальные интервальные зоны, должны сохраняться и в 2D, и в 3D-контроле.

Рисунок 6.8. Вертикальный тип, пятый порядок, 3D-поверхность границы общего внутреннего объёма. Яркое меридиональное сечение показывает реальные внутренние зоны после Merge.

6.8. Выводы главы

В главе сформулирован общий закон построения псевдоэллипсоидов высших порядков. Второй порядок является начальным внутренним объёмом, а каждый следующий порядок возникает за счёт добавления одного рекурсивного offset. Поэтому порядок n определяется длиной списка offsets по формуле n = len(offsets) + 2.

Основным математическим объектом высшего порядка является не отдельная ветвь и не внешняя оболочка, а семейство радиальных интервалов Iₙ(x) после Merge. Формальные ветви образуют конструктивную историю объекта и имеют число Nₙ = 2ⁿ⁻², но реальная компонентность зависит от пересечений, касаний и перекрытий интервалов.

Показано, что любой конечный порядок радиально ограничен. Верхняя оценка Mₙ ≤ M₂ + ΣR_k гарантирует конечность построенной области и делает её пригодной для последующих численных задач. Пятый порядок использован как демонстрационный пример общего закона. Он уже содержит восемь формальных ветвей, но после Merge обычно даёт более компактную реальную структуру. Горизонтальный и вертикальный типы подтверждают, что рекурсивный оператор одинаков, а различие морфологии связано с базовой эллиптической функцией d(x), определяемой параметром K.

5.1. Почему четвёртый порядок является первым структурно сложным уровнем

Для второго порядка каждому значению осевой координаты x соответствует один исходный радиальный интервал I₂(x) = [0, d(x)]. Этот интервал описывает не поверхность, а всю допустимую радиальную область от оси вращения до активной эллиптической границы. В третьем порядке к нему применяется первое радиальное смещение R₁. До Merge возникают две формальные части, которые удобно мыслить как разностную и суммовую зоны относительно уровня R₁. Однако эти зоны соприкасаются в общем уровне R₁ и поэтому часто сливаются в один непрерывный интервал.

Четвёртый порядок принципиально отличается от третьего. Второй оператор C_{R₂} применяется уже к тому, что получилось на предыдущем шаге. Иначе говоря, R₂ действует не заново на исходную d(x), а на весь интервал I₃(x). Именно это правило является главным методологическим ядром главы. Если его нарушить и применить R₂ непосредственно к d(x), получится другая геометрия, не совпадающая с рекурсивным определением и не соответствующая скриптовой реализации.

I₂(x) = [0, d(x)].

I₃(x) = Merge( C_{R₁}( I₂(x) ) ).

I₄(x) = Merge( C_{R₂}( I₃(x) ) ).

Оператор C_R действует на произвольный радиальный интервал [α, β] следующим образом: сначала строится разностный образ относительно уровня R, затем суммовый образ, после чего пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы объединяются. В удобной записи это означает:

C_R([α, β]) = [max(R − β, 0), max(R − α, 0)] ∪ [R + α, R + β].

Эта формула показывает, почему четвёртый порядок не является обычным масштабированием третьего. Если после третьего порядка имеется интервал [p, q], то четвёртый порядок даёт две группы: разностную [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] и суммовую [R₂ + p, R₂ + q]. При p > 0 между ними естественно возникает зазор, равный 2p до учёта обрезки у оси. Именно этот зазор и является источником настоящей многозонности.

Рисунок 5.1. Локальная интервальная логика второго, третьего и четвёртого порядков при фиксированной осевой координате x. Схема показывает, что четвёртый порядок строится из I₃(x), а не заново из d(x).

Важно различать формальный и физический уровни описания. Формальное дерево четвёртого порядка содержит четыре выражения: R₂ − (R₁ − d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ + d). Но эти выражения ещё не являются окончательной геометрией. Они только задают возможные границы радиальных зон. Окончательная область определяется после перехода к интервалам и выполнения Merge.

Рисунок 5.2. Ветвевой скелет четвёртого порядка R₂ ± (R₁ ± d(x)). Формальное число ветвей равно четырём, но реальный внутренний объём задаётся только после интервального объединения и Merge.

Поэтому в научной редакции теории нельзя смешивать четыре разные вещи: исходную эллиптическую образующую, радиальную функцию d(x), формальные ветви рекурсии и физический внутренний объём. Четвёртый порядок впервые делает это различение обязательным. На втором порядке оно может казаться избыточным, на третьем — частично скрывается соприкосновением интервалов в уровне R₁, но на четвёртом уровне ошибка сразу приводит к неправильной топологии сечения.

5.2. Горизонтальный тип: 2D и 3D

Горизонтальный тип соответствует K < 1. В этом режиме исходные эллиптические четверти вытянуты вдоль оси x, а фокальная ось каждой исходной дуги также горизонтальна. Для четвёртого порядка это означает, что базовое распределение d(x) имеет сравнительно компактную вертикальную амплитуду, но рекурсивные смещения R₁ и R₂ могут вынести радиальные интервалы на существенно разные уровни. Поэтому даже при простой базовой образующей итоговое 2D-сечение становится многозонным.

В качестве демонстрационного варианта для горизонтального типа используется K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 0.7 и R₂ = 1.8. Параметры h₁ = 0 и h = 0 намеренно оставляют образующую в базовом закрытом режиме: нет экваториального разрыва и нет торцевых окон. Это важно для чистоты главы, потому что её предметом является именно второй рекурсивный шаг, а не открытые апертурные режимы.

На 2D-сечении горизонтального четвёртого порядка видны две группы границ. Наружная группа соответствует большим радиальным значениям, возникающим из суммового образа относительно R₂. Внутренняя группа соответствует разностному образу. Если между ними остаётся ненулевая радиальная пустота, то сечение приобретает кольцевой характер: область больше не заполняет весь радиальный диапазон от оси до внешней поверхности. Это и есть первое появление настоящей внутренней многозонности в геометрии псевдоэллипсоидов высших порядков.

Рисунок 5.3. Горизонтальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 2D-сечение. Параметры: a = 1, K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (0.7, 1.8), m = 1. Показаны радиальные зоны после Merge; фокусы наносятся только для видимых эллиптических границ.

На 3D-построении та же картина проявляется как система поверхностей вращения. Внешняя поверхность ограничивает общий радиальный размер, внутренняя поверхность показывает реальное появление центрально-вырезанной или кольцевой зоны. Яркое меридиональное сечение, заложенное в скриптовую визуализацию, выполняет контрольную функцию: оно позволяет видеть, что построенная 3D-фигура не является одной оболочкой, а соответствует именно объединённому внутреннему объёму с внутренними и внешними границами.

Рисунок 5.4. Горизонтальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 3D-поверхность. Фокусы на 3D не наносятся; пространственный вид служит проверкой поверхностей границы общего объёма и яркого меридионального сечения.

Горизонтальный пример особенно удобен для объяснения второго рекурсивного шага, потому что при K < 1 базовая эллиптическая форма визуально хорошо различима, а появляющиеся радиальные зоны легко сопоставить с формулой C_{R₂}(I₃). Однако сам механизм не зависит от горизонтальности. Он является общим для всех типов: меняется только исходная функция d(x) и, как следствие, форма зон в сечении.

5.3. Вертикальный тип: 2D и 3D

Вертикальный тип соответствует K > 1. В этом режиме исходные эллиптические четверти вытянуты поперёк оси x, а фокальная структура каждой исходной дуги ориентирована вертикально. Такое изменение базовой образующей меняет форму радиальной функции d(x), но не меняет рекурсивного закона. Четвёртый порядок для вертикального типа по-прежнему строится по схеме I₄(x) = Merge(C_{R₂}(I₃(x))).

Для демонстрационного вертикального варианта используется K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 2.0 и R₂ = 5.0. Эти параметры подобраны так, чтобы четвёртый порядок отчётливо показывал отделение радиальных зон. Здесь важно, что вертикальный тип не является простым переименованием горизонтального. Его исходная эллиптическая геометрия даёт иное распределение d(x), поэтому при тех же логических правилах построения форма 2D-сечения и 3D-поверхности становится другой.

На 2D-сечении вертикального четвёртого порядка хорошо видно, что Merge не удаляет внутренние тороидальные зоны как геометрические объекты. Он удаляет только дублирование пересекающейся общей части. Если зоны не пересекаются и не соприкасаются, они сохраняются как разные радиальные компоненты. Это принципиально для всей книги: внутренние поверхности не являются ошибкой визуализации; они являются прямым следствием второго рекурсивного шага.

Рисунок 5.5. Вертикальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 2D-сечение. Параметры: a = 1, K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (2.0, 5.0), m = 1. Видны две радиальные зоны, возникающие после второго рекурсивного шага.

В пространственной реализации вертикальный тип подчёркивает объёмный смысл четвёртого порядка. При вращении меридионального сечения вокруг оси x каждая радиальная зона превращается в соответствующую поверхность вращения. Поэтому внутренние линии сечения становятся внутренними тороидальными поверхностями, а внешние линии — внешней границей общего объёма. Такой объект уже нельзя корректно описывать одной граничной функцией; он требует языка интервалов и объединения компонент.

Рисунок 5.6. Вертикальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 3D-поверхность. Пространственное построение показывает внешние и внутренние поверхности границы; яркое меридиональное сечение оставлено как контроль сохранения внутренней структуры.

Сравнение горизонтального и вертикального примеров показывает важный вывод. Рекурсивное ядро одинаково, но базовая эллиптическая образующая остаётся существенной. Параметр K не просто меняет пропорции картинки; он меняет исходное распределение радиальной толщины d(x), а значит влияет на то, где именно четвёртый порядок создаёт кольцевые зоны, касания или объединения.

5.4. Лемма о появлении двух Merge-зон

Лемма 5.1. Пусть после третьего порядка при фиксированной осевой координате x имеется ненулевой интервал I₃(x) = [p, q], где 0 < p < q. Пусть четвёртый порядок строится оператором C_{R₂}. Если разностный и суммовый образы этого интервала не пересекаются и не соприкасаются, то после Merge в четвёртом порядке сохраняются две различные радиальные зоны.

Доказательство. По определению оператора C_R для интервала [p, q] строятся два образа: разностный [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] и суммовый [R₂ + p, R₂ + q]. Если обрезка у оси не разрушает порядок границ и p > 0, то правая граница разностного образа равна R₂ − p, а левая граница суммового образа равна R₂ + p. Между ними остаётся зазор 2p. Так как Merge объединяет только пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы, два образа при наличии положительного зазора не могут слиться в один интервал. Следовательно, в I₄(x) остаются две радиальные зоны.

Если p = 0, то разностный и суммовый образы соприкасаются в уровне R₂. Тогда Merge объединяет их в одну зону. Если активна обрезка у нуля, то часть разностного образа может выродиться или быть прижата к оси. Поэтому лемма не говорит, что четвёртый порядок всегда имеет две зоны в каждой точке x. Она говорит более точно: четвёртый порядок впервые создаёт условия, при которых две Merge-зоны становятся возможны как устойчивый геометрический режим.

I₃(x) = [p, q],     0 < p < q.

C_{R₂}(I₃) = [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] ∪ [R₂ + p, R₂ + q].

зазор = (R₂ + p) − (R₂ − p) = 2p.

Эта лемма объясняет, почему четвёртый порядок является первым уровнем реальной многозонности. На третьем порядке интервалы обычно касаются в уровне R₁. На четвёртом порядке, если результат третьего порядка оторвался от оси и имеет p > 0, новое отражение относительно R₂ порождает две несоприкасающиеся радиальные области. Отсюда появляются внутренние тороидальные границы и необходимость аккуратной 2D/3D-визуализации.

Рисунок 5.7. Изменение Merge-картины четвёртого порядка при разных значениях R₂. При одних параметрах зоны могут сближаться или касаться; при других возникает явно выраженная внутренняя пустота между радиальными компонентами.

Научный смысл леммы состоит не только в доказательстве частного факта. Она фиксирует главный переход от третьего порядка к четвёртому: сложность больше нельзя описывать числом формальных ветвей. Нужно анализировать реальные радиальные интервалы после Merge. Поэтому четвёртый порядок является первым уровнем, где топология внутреннего объёма должна проверяться алгоритмически, а не выводиться на глаз из ветвевых формул.

5.5. Научная интерпретация четвёртого порядка как первой многозонной псевдоэллипсоидной области

Четвёртый порядок вводит новую геометрическую ситуацию: внутренний объём уже может состоять не из одного радиального слоя, а из нескольких слоёв, разделённых пустыми промежутками. В меридиональном сечении это выглядит как система вложенных областей; после вращения вокруг оси x такие области превращаются в наружные и внутренние поверхности вращения. Именно поэтому термин «псевдоэллипсоид четвёртого порядка» не следует понимать как одну гладкую эллипсоидальную оболочку. Это рекурсивно построенная область, имеющая эллиптический источник, но не сводимая к классическому эллипсоиду.

Такой объект особенно важен для дальнейшей теории, потому что он впервые демонстрирует отличие между простым увеличением толщины и настоящей внутренней архитектурой. Если бы R₂ только расширял третий порядок, то четвёртый порядок был бы количественным усложнением. Но из-за разностно-суммового действия C_{R₂} он становится качественным усложнением: внутри одного и того же осевого диапазона появляются разные допустимые радиальные зоны. Это уже топологическая информация, а не только метрическая.

При этом Merge следует понимать строго. Он не должен уничтожать внутренние тороидальные поверхности только потому, что рисунок кажется визуально сложным. Merge объединяет лишь те интервалы, которые пересекаются или касаются. Если между радиальными зонами существует ненулевой зазор, они остаются разными компонентами. Поэтому правильная скриптовая визуализация четвёртого порядка должна показывать как внешние, так и внутренние границы, а не сглаживать их в одну декоративную оболочку.

Именно на этом уровне становится очевидной необходимость разделения трёх языков: ветвевого, интервального и объёмного. Ветвевой язык объясняет происхождение границ. Интервальный язык определяет допустимые радиальные зоны. Объёмный язык задаёт реальную область Ω₄, пригодную для дальнейших расчётов. Если оставить только ветви, теория будет неполной. Если оставить только 3D-картинку, будет потеряна строгая рекурсивная причина появления внутренней структуры.

5.6. Ограничения главы и переход к следующим уровням построения

В настоящей главе сознательно не рассматриваются рядные системы и произвольный n-й порядок. Четвёртый порядок должен быть понят сам по себе, потому что именно он является первым уровнем, где рекурсия перестаёт быть почти одномерной и начинает создавать внутреннюю многослойную структуру. Добавление рядности или новых параметров R₃, R₄, … до полного понимания четвёртого порядка привело бы к смешению разных механизмов.

Также здесь не анализируются волновые свойства. Наличие внутренней тороидальной поверхности, кольцевой зоны или разделённого радиального слоя не является автоматическим доказательством локализации, резонанса или направленного вывода. Геометрия только создаёт потенциальную расчётную область. Физические эффекты требуют отдельной постановки уравнений, источников, граничных условий, частотного масштаба и контрольных сравнений.

Следующая логическая задача после четвёртого порядка состоит в обобщении рекурсии на произвольный n-й порядок. Но это обобщение должно опираться именно на выводы настоящей главы: каждый новый параметр Rₖ действует на уже построенное множество интервалов, а не возвращается к исходной d(x). Поэтому четвёртый порядок является не просто одним из примеров, а проверочным узлом всей рекурсивной теории.

5.7. Выводы главы

В главе построен и научно интерпретирован псевдоэллипсоид четвёртого порядка как второй рекурсивный шаг теории. Главный результат состоит в том, что четвёртый порядок является первым структурно сложным уровнем: здесь оператор R₂ действует на весь результат третьего порядка, а не на исходную эллиптическую образующую.

Показано, что формальный ветвевой скелет R₂ ± (R₁ ± d(x)) имеет четыре ветви, но физически значимая область задаётся не числом ветвей, а радиальными интервалами после Merge. Поэтому корректное описание четвёртого порядка требует перехода от ветвей к интервальному и объёмному языку.

Горизонтальный и вертикальный типы используют один и тот же рекурсивный оператор, но различаются исходной эллиптической функцией d(x), задаваемой параметром K. Поэтому форма 2D-сечений и 3D-поверхностей у них различна, хотя математическая логика повышения порядка остаётся общей.

Лемма о двух Merge-зонах показывает, что если после третьего порядка интервал оторван от оси и имеет левую границу p > 0, то четвёртый порядок может создать две радиально разделённые зоны. Это объясняет появление внутренних тороидальных поверхностей и делает четвёртый порядок первым уровнем настоящей многозонности.